Είναι συνευθειακά!!

#1

Δίνονται δύο κύκλοι $\displaystyle{ \left( {\rm O} \right) }$ και $\displaystyle{ \left( {{\rm O}'} \right) }$ που τέμνονται στα σημεία Α και Β.

Από το σημείο Α φέρνουμε τις τέμνουσες $\displaystyle{ {\rm P}_1 {\rm A}{\rm P}'_1 ,\quad {\rm P}_2 {\rm A}{\rm P}'_2 ,\quad {\rm P}_3 {\rm A}{\rm P}'_3 \quad }$ στους δύο κύκλους (με $\displaystyle{ {\rm P}_1 ,{\rm P}_2 ,{\rm P}_3 \in \left( {\rm O} \right) }$ και $\displaystyle{ {\rm P}'_1 ,{\rm P}'_2 ,{\rm P}'_3 \in \left( {{\rm O}'} \right) }$ .

Να δειχθεί ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα $\displaystyle{ {\rm P}_1 \mathop {\rm B}\limits^\Delta {\rm P}'_1 ,\;{\rm P}_2 \mathop {\rm B}\limits^\Delta {\rm P}'_2 ,\;{\rm P}_3 \mathop {\rm B}\limits^\Delta {\rm P}'_3 \quad }$ τέμνονται ανά δύο σε τρία συνευθειακά σημεία.
Δηλαδή όπως φαίνεται στο σχήμα Κ, Λ, Μ είναι συνευεθειακά

Φιλικά
Στάθης

#2

Αρχικά δείχνουμε ότι για τις δύο τέμνουσες Ρ1ΑΡ1΄, Ρ2ΑΡ2' των δύο κύκλων που
διέρχονται από το Α ισχύει:
Οι ευθείες που ορίζουν τα δύο ζεύγη των σημείων: Ρ1,Ρ2 και Ρ1',Ρ2' τέμνονται στο
κοινό σημείο των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων Ρ1ΒΡ1' και Ρ2ΒΡ2'. (Σχ. πρώτο)
Πράγματι:
Έστω Σ το κοινό σημείο των Ρ1Ρ2 και Ρ1'Ρ2'. Τότε από το τρίγωνο ΣΡ1Ρ1' είναι:
$\displaystyle \hat{\theta }+\hat{\omega '}+\hat{\varphi '}=180^0$ (1)
Όμως από τα εγγράψιμα τετράπλευρα ΑΒΡ2Ρ1 και ΑΒΡ2'Ρ1' είναι:
$\displaystyle \hat{\omega' }=\hat{\omega},\ \ \hat{\varphi '}=\hat{\varphi }$ (2)
Από τις (1) και (2) προκύπτει:
$\displaystyle \hat{\theta }+\hat{\omega }+\hat{\varphi }=180^0$
που δηλώνει πως το ΣΡ2ΒΡ2' είναι εγγράψιμο.
Όμοια συμβαίνει και για το ΣΡ1ΒΡ1'.
Αυτό δηλώνει πως το σημείο Σ ανήκει στους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων ΒΡ1Ρ1' και ΒΡ2Ρ2'
άρα θα ανήκει και στο σημείο τομής των(το δεύτερο, γιατί το πρώτο είναι το Β).

Για το ερώτημα της άσκησης:

Φέρουμε την ΒΛ.
Αρκεί να δειχθεί ότι:
$\displaystyle \hat{\alpha }+\hat{\beta }=180^0$ (3)
Από τα εγγραψιμα τετράπλευρα: ΚΛΒΡ3 και ΑΒΡ3Ρ2 καθώς και ΛΜΡ1'Β και ΑΒΡ1'Ρ2'
προκύπτει:
$\displaystyle \pi -\hat{\alpha }+\pi -\hat{\beta }=\pi \Rightarrow \hat{\alpha }+\hat{\beta }=\pi$
Δηλαδή η ζητούμενη (3).
Άρα τα Κ,Λ,Μ συνευθεικά.

Είναι συνευθειακά!!

Είναι συνευθειακά!!

Re: Είναι συνευθειακά!!

Μέλη σε σύνδεση