Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
- Γενικοί Συντονιστές
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 511
- Εγγραφή: Κυρ Σεπ 13, 2009 12:52 am
Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Αγαπητά μέλη και επισκέπτες του Mathematica
Σε αυτό το θέμα θα συζητήσουμε αύριο Δευτέρα 16 Μαϊου τα θέματα των εξετάσεων για τα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
Τα θέματα θα αναρτηθούν σε αυτό τον φάκελο μετά την ανακοίνωση τους από το Υπουργείο Παιδείας.
Ο φάκελος θα ανοίξει για συζήτηση μετά τις 11 πμ.
Επίσης θα αναρτάται, διαρκώς βελτιούμενο, Δελτίο Απαντήσεων που θα συντάσσει, με την συμβολή όλων μας, η Επιτροπή Θεμάτων 2011 του mathematica.
Κανένας σχολιασμός θεμάτων δεν θα πραγματοποιηθεί σε άλλο θέμα ή φάκελο πριν ανοίξει το παρόν θέμα.
Παρακαλούμε τα μέλη μας να δείξουν υπομονή και κατανόηση όπως ακριβώς έκαναν και με τα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Σας ευχαριστούμε γιαυτό.
Υπενθυμίζουμε στα μέλη μας ότι και σε αυτό το θέμα ισχύουν απαρέγκλιτα οι κανόνες που διέπουν την σύνταξη των μηνυμάτων στο mathematica.
Καλή συνέχεια και καλή δύναμη.
Σε αυτό το θέμα θα συζητήσουμε αύριο Δευτέρα 16 Μαϊου τα θέματα των εξετάσεων για τα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
Τα θέματα θα αναρτηθούν σε αυτό τον φάκελο μετά την ανακοίνωση τους από το Υπουργείο Παιδείας.
Ο φάκελος θα ανοίξει για συζήτηση μετά τις 11 πμ.
Επίσης θα αναρτάται, διαρκώς βελτιούμενο, Δελτίο Απαντήσεων που θα συντάσσει, με την συμβολή όλων μας, η Επιτροπή Θεμάτων 2011 του mathematica.
Κανένας σχολιασμός θεμάτων δεν θα πραγματοποιηθεί σε άλλο θέμα ή φάκελο πριν ανοίξει το παρόν θέμα.
Παρακαλούμε τα μέλη μας να δείξουν υπομονή και κατανόηση όπως ακριβώς έκαναν και με τα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Σας ευχαριστούμε γιαυτό.
Υπενθυμίζουμε στα μέλη μας ότι και σε αυτό το θέμα ισχύουν απαρέγκλιτα οι κανόνες που διέπουν την σύνταξη των μηνυμάτων στο mathematica.
Καλή συνέχεια και καλή δύναμη.
Οι Γενικοί Συντονιστές του mathematica
-
- Δημοσιεύσεις: 7
- Εγγραφή: Σάβ Μάιος 07, 2011 11:58 pm
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Στο Δικτυακό χώρο του Υπ. Παιδείας έχουν αναρτηθεί οι εκφωνήσεις των Θεμάτων των Μαθηματικών Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2011.
Ο συγκεκριμένος φάκελος θα παραμείνει όπως αποφασίστηκε έως τις 11 κλειστός. Στις 11 θα ξεκινήσει η συζήτηση για τα θέματα. Παρακαλείστε να μη στέλνετε λύσεις και σχόλια σε άλλους φακέλους πριν από τη συγκεκριμένη ώρα.
Σε εύλογο χρόνο η Επιτροπή Θεμάτων του Mathematica θα εκδώσει Δελτίο με τις Λύσεις των θεμάτων, το οποίο θα συμπληρώνεται σε διαδοχικές αναρτήσεις.
Ευχόμαστε ολόψυχα στους μαθητές που συμμετέχουν στο forum να ανταμειφθεί η προσπάθεια που κατέβαλαν ως υποψήφιοι!
EDIT: Επισυνάπτεται η 2η έκδοση λύσεων των θεμάτων από την αντίστοιχη επιτροπή του mathematica.gr
Ο συγκεκριμένος φάκελος θα παραμείνει όπως αποφασίστηκε έως τις 11 κλειστός. Στις 11 θα ξεκινήσει η συζήτηση για τα θέματα. Παρακαλείστε να μη στέλνετε λύσεις και σχόλια σε άλλους φακέλους πριν από τη συγκεκριμένη ώρα.
Σε εύλογο χρόνο η Επιτροπή Θεμάτων του Mathematica θα εκδώσει Δελτίο με τις Λύσεις των θεμάτων, το οποίο θα συμπληρώνεται σε διαδοχικές αναρτήσεις.
Ευχόμαστε ολόψυχα στους μαθητές που συμμετέχουν στο forum να ανταμειφθεί η προσπάθεια που κατέβαλαν ως υποψήφιοι!
EDIT: Επισυνάπτεται η 2η έκδοση λύσεων των θεμάτων από την αντίστοιχη επιτροπή του mathematica.gr
- Συνημμένα
-
- MATHEMATICA GR Μαθ Θετ Κατ Λύσεις Θεμάτων 2011.pdf
- (317.42 KiB) Μεταφορτώθηκε 533 φορές
-
- them_mat_kat_c_hmer_no_1106.pdf
- (198.34 KiB) Μεταφορτώθηκε 1126 φορές
τελευταία επεξεργασία από Επιτροπή Θεμάτων 11 σε Δευ Μάιος 16, 2011 11:13 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ανδρέας Βαρβεράκης, Φωτεινή Καλδή, Σπύρος Καρδαμίτσης, Τάσος Κοτρώνης, Βασίλης Μαυροφρύδης, Ροδόλφος Μπόρης, Μίλτος Παπαγρηγοράκης, Γιώργος Ρίζος, Αλέξανδρος Συγκελάκης, Κώστας Τηλέγραφος
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Ας ξεκινήσω το θέμα.
Θέμα Β
Έστω οι μιγαδικοί και με , οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις:
και
Β1. Έστω . Τότε η πρώτη σχέση γίνεται:
Αρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο Κ(0,3) και ακτίνα ρ=1.
Β2. Λόγω του παραπάνω γεωμετρικού τόπου ισχύει για τον μιγαδικό z:
B3.
Αρα
Β4.
Θέμα Β
Έστω οι μιγαδικοί και με , οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις:
και
Β1. Έστω . Τότε η πρώτη σχέση γίνεται:
Αρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο Κ(0,3) και ακτίνα ρ=1.
Β2. Λόγω του παραπάνω γεωμετρικού τόπου ισχύει για τον μιγαδικό z:
B3.
Αρα
Β4.
Γιώργος
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Θέμα Β
Παραλλαγή της λύσης του Γιώργου:
Β1. Είναι: , οπότε: .
Ο Γ.Τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(0, 3) και ακτίνα 1.
Β2. Για
είναι:
Β3. , εφόσον αν , τότε
Εφόσον ο Γ.Τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(0, 3) και ακτίνα 1, είναι:
Β4. Είναι:
οπότε:
Παραλλαγή της λύσης του Γιώργου:
Β1. Είναι: , οπότε: .
Ο Γ.Τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(0, 3) και ακτίνα 1.
Β2. Για
είναι:
Β3. , εφόσον αν , τότε
Εφόσον ο Γ.Τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(0, 3) και ακτίνα 1, είναι:
Β4. Είναι:
οπότε:
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Μπορούμε να έχουμε μια εκτίμηση του απαιτούμενου χρόνου;
τελευταία επεξεργασία από rek2 σε Δευ Μάιος 16, 2011 11:56 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2936
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Το Β και σε word.
- Συνημμένα
-
- ΘΕΜΑ Β.doc
- (72.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 405 φορές
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Γρήγορη λύση στο Θεμα Γ
- Συνημμένα
-
- ΘΕΜΑ Γ.docx
- (25.92 KiB) Μεταφορτώθηκε 688 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 623
- Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Λίγο διαφορετικά για το θέμα Β που μου φάνηκε αρκετά βατό.
Β3.
χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα.
ΥΓ. Έκανα φορμάτ τον υπολογιστή και δεν έχω τα office για να δω τις παραπάνω λύσεις που δόθηκαν σε αρχείο word.
Με συγχωρείτε αν συμπίπτει η λύση μου με κάποιου...
Επεξεργασία: Πρόσθεσα και το άλλο σκέλος του ερωτήματος Β3...
Β3.
χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα.
ΥΓ. Έκανα φορμάτ τον υπολογιστή και δεν έχω τα office για να δω τις παραπάνω λύσεις που δόθηκαν σε αρχείο word.
Με συγχωρείτε αν συμπίπτει η λύση μου με κάποιου...
Επεξεργασία: Πρόσθεσα και το άλλο σκέλος του ερωτήματος Β3...
τελευταία επεξεργασία από Νασιούλας Αντώνης σε Δευ Μάιος 16, 2011 6:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
-
- Δημοσιεύσεις: 623
- Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Γεια σας,skious έγραψε:Σχόλια για τα θέματα:
Θέμα Β : Λύνεται πολύ εύκολα αν χρησιμοποιηθεί η ιδιότητα ότι οι συζυγείς έχουν ίσα μέτρα. Στο Β3 η λύση μπορεί να βασιστεί στο σχήμα ή με ανίσωση 1-χ^2>=0.
Θέμα Γ: Γ1: Θέλει διπλή εφαρμογή της πρότασης ότι αν δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια παράγωγο διαφέρουν κατά μία σταθερά και απαιτεί μεγάλη εξοικείωση σε τέτοιου είδους ασκήσεις. Επιπλέον, απαιτείται να δειχθεί ότι e^x-x>0 , κάτι που προβλέπω ότι πολλοί μαθητές θα παραλείψουν (Παρόμοιο με θέμα της ΕΜΕ στο φυλλάδιο του 2010).
Γ2: Πολύ απλό
Γ3: Απαιτεί χρήση βοηθητικής συνάρτησης (αριθμητής της f΄΄) για την απόδειξη της ύπαρξης ακριβώς δύο σημείων καμπής.
Γ4: Απλή εφαρμογή Θ. Bolzano.
Θέμα Δ: Δ1: Εκπληκτικό θέμα, παρόμοιο με σχετική άσκηση της ΕΜΕ στο φυλλάδιο του 2010.
Δ2: Παρόμοιο με το Γ1
Δ3: Θέλει αντικατάσταση u=1/χ και μετά De L΄Ηospital
Δ4: Πρέπει να αποδειχθεί ότι F(x)<0 για χ<1 (σχετικά εύκολο) και στη συνέχεια θέλει κατά παράγοντες ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας χ΄=1.
λέει ακριβώς μια λύση άρα ο κύριος Βοlzano δεν μας καλύπτει.
Θέλει και Rolle ή μονοτονία.
Επίσης να αναφέρω για το θέμα Β ότι όντως η ιδιότητα που αναφέρεται βγάζει την απάντηση σε μισή σειρά.
"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Σχόλια για τα θέματα:
Θέμα Β : Λύνεται πολύ εύκολα αν χρησιμοποιηθεί η ιδιότητα ότι οι συζυγείς έχουν ίσα μέτρα. Στο Β3 η λύση μπορεί να βασιστεί στο σχήμα ή με ανίσωση 1-χ^2>=0.
Θέμα Γ: Γ1: Θέλει διπλή εφαρμογή της πρότασης ότι αν δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια παράγωγο διαφέρουν κατά μία σταθερά και απαιτεί μεγάλη εξοικείωση σε τέτοιου είδους ασκήσεις. Επιπλέον, απαιτείται να δειχθεί ότι e^x-x>0 , κάτι που προβλέπω ότι πολλοί μαθητές θα παραλείψουν (Παρόμοιο με θέμα της ΕΜΕ στο φυλλάδιο του 2010).
Γ2: Πολύ απλό
Γ3: Απαιτεί χρήση βοηθητικής συνάρτησης (αριθμητής της f΄΄) για την απόδειξη της ύπαρξης ακριβώς δύο σημείων καμπής.
Γ4: Απλή εφαρμογή Θ. Bolzano.
H h(x)=f(x)-συνχ είναι γνησίως αύξουσα στο [0, π/2], άρα η μοναδικότητα προκύπτει άμεσα
Θέμα Δ: Δ1: Εκπληκτικό θέμα, παρόμοιο με σχετική άσκηση της ΕΜΕ στο φυλλάδιο του 2010.
Δ2: Παρόμοιο με το Γ1
Δ3: Θέλει αντικατάσταση u=1/χ και μετά De L΄Ηospital
Δ4: Πρέπει να αποδειχθεί ότι F(x)<0 για χ<1 (σχετικά εύκολο) και στη συνέχεια θέλει κατά παράγοντες ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας χ΄=1.
Θέμα Β : Λύνεται πολύ εύκολα αν χρησιμοποιηθεί η ιδιότητα ότι οι συζυγείς έχουν ίσα μέτρα. Στο Β3 η λύση μπορεί να βασιστεί στο σχήμα ή με ανίσωση 1-χ^2>=0.
Θέμα Γ: Γ1: Θέλει διπλή εφαρμογή της πρότασης ότι αν δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια παράγωγο διαφέρουν κατά μία σταθερά και απαιτεί μεγάλη εξοικείωση σε τέτοιου είδους ασκήσεις. Επιπλέον, απαιτείται να δειχθεί ότι e^x-x>0 , κάτι που προβλέπω ότι πολλοί μαθητές θα παραλείψουν (Παρόμοιο με θέμα της ΕΜΕ στο φυλλάδιο του 2010).
Γ2: Πολύ απλό
Γ3: Απαιτεί χρήση βοηθητικής συνάρτησης (αριθμητής της f΄΄) για την απόδειξη της ύπαρξης ακριβώς δύο σημείων καμπής.
Γ4: Απλή εφαρμογή Θ. Bolzano.
H h(x)=f(x)-συνχ είναι γνησίως αύξουσα στο [0, π/2], άρα η μοναδικότητα προκύπτει άμεσα
Θέμα Δ: Δ1: Εκπληκτικό θέμα, παρόμοιο με σχετική άσκηση της ΕΜΕ στο φυλλάδιο του 2010.
Δ2: Παρόμοιο με το Γ1
Δ3: Θέλει αντικατάσταση u=1/χ και μετά De L΄Ηospital
Δ4: Πρέπει να αποδειχθεί ότι F(x)<0 για χ<1 (σχετικά εύκολο) και στη συνέχεια θέλει κατά παράγοντες ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας χ΄=1.
τελευταία επεξεργασία από skious σε Δευ Μάιος 16, 2011 12:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4768
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Θέμα Α
Α.1 …
Α.2…
Α.3 α) (Σ), β(Σ), γ) (Λ), δ) (Λ), ε) (Σ)
Θέμα Β
Β.1
οπότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z είναι κύκλος με κέντρο (την εικόνα του και ακτίνα
Β.2. Από τη σχέση
Β.3
Είναι
Επειδή όμως ο z κινείται στον κύκλο του Β.1 ερωτήματος θα ισχύει:
Β.4. Είναι :
Θέμα Γ
Γ1.
Έχουμε:
Για οπότε ισχύει:
Θα δείξω ότι για κάθε πραγματική τιμή του x.
Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R με και
Για και ομοίως οπότε η h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το άρα από την (2) θα έχουμε:
Για
Γ2. Είναι με
Θα είναι για και επειδή η f είναι συνεχής στο η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο
Επίσης για
και επειδή η f είναι συνεχής στο η f θα είναι γνησίως φθίνουσα στο και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το
Γ3. Είναι
Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R (πράξεις με παραγωγίσιμες) με
Με
Για γνησίως αύξουσα στο και για
γνησίως φθίνουσα στο
Οπότε η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 1 το
Επειδή
Και
Έτσι για την g ισχύει υπάρχει ώστε το οποίο είναι και μοναδικό λόγω της μονοτονίας της g στο και για
και για
Οπότε η f παρουσιάζει ένα μόνο σημείο καμπής το στο διάστημα
Ομοίως για την g ισχύει: υπάρχει ώστε το οποίο είναι και μοναδικό λόγω της μονοτονίας της g στο και για
και για
Οπότε η f παρουσιάζει ένα μόνο σημείο καμπής το στο διάστημα
Γ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο και , διότι
όπως δείξαμε για οπότε για οπότε από το θεώρημα του Bolzano θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ώστε
Επειδή προφανώς η k είναι παραγωγίσιμη στο (διαφορά παραγωγισίμων) με
η συνάρτηση k είναι γνησίως φθίνουσα στο και άρα το
είναι μοναδικό
Θέμα Δ.
Δ1. Είναι
Ομοίως λόγω συμμετρικής σχέσης βρίσκουμε:
Επειδή η g είναι συνεχής στο θα είναι και συνεχής στο R (πηλίκο συνεχών) και επειδή θα είναι η παραγωγίσιμη στο R οπότε και η παραγωγίσιμη με
Για τον ίδιο λόγω (λόγω συμμετρικών σχέσεων) βρίσκουμε ότι και η g είναι παραγωγίσιμη στο R με
Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι:
Δ2. Με θα έχουμε:
Δ3.
Δ4. Επειδή για θα είναι οπότε το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι:
Φιλικά Στάθης
Α.1 …
Α.2…
Α.3 α) (Σ), β(Σ), γ) (Λ), δ) (Λ), ε) (Σ)
Θέμα Β
Β.1
οπότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z είναι κύκλος με κέντρο (την εικόνα του και ακτίνα
Β.2. Από τη σχέση
Β.3
Είναι
Επειδή όμως ο z κινείται στον κύκλο του Β.1 ερωτήματος θα ισχύει:
Β.4. Είναι :
Θέμα Γ
Γ1.
Έχουμε:
Για οπότε ισχύει:
Θα δείξω ότι για κάθε πραγματική τιμή του x.
Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R με και
Για και ομοίως οπότε η h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το άρα από την (2) θα έχουμε:
Για
Γ2. Είναι με
Θα είναι για και επειδή η f είναι συνεχής στο η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο
Επίσης για
και επειδή η f είναι συνεχής στο η f θα είναι γνησίως φθίνουσα στο και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το
Γ3. Είναι
Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R (πράξεις με παραγωγίσιμες) με
Με
Για γνησίως αύξουσα στο και για
γνησίως φθίνουσα στο
Οπότε η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 1 το
Επειδή
Και
Έτσι για την g ισχύει υπάρχει ώστε το οποίο είναι και μοναδικό λόγω της μονοτονίας της g στο και για
και για
Οπότε η f παρουσιάζει ένα μόνο σημείο καμπής το στο διάστημα
Ομοίως για την g ισχύει: υπάρχει ώστε το οποίο είναι και μοναδικό λόγω της μονοτονίας της g στο και για
και για
Οπότε η f παρουσιάζει ένα μόνο σημείο καμπής το στο διάστημα
Γ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο και , διότι
όπως δείξαμε για οπότε για οπότε από το θεώρημα του Bolzano θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ώστε
Επειδή προφανώς η k είναι παραγωγίσιμη στο (διαφορά παραγωγισίμων) με
η συνάρτηση k είναι γνησίως φθίνουσα στο και άρα το
είναι μοναδικό
Θέμα Δ.
Δ1. Είναι
Ομοίως λόγω συμμετρικής σχέσης βρίσκουμε:
Επειδή η g είναι συνεχής στο θα είναι και συνεχής στο R (πηλίκο συνεχών) και επειδή θα είναι η παραγωγίσιμη στο R οπότε και η παραγωγίσιμη με
Για τον ίδιο λόγω (λόγω συμμετρικών σχέσεων) βρίσκουμε ότι και η g είναι παραγωγίσιμη στο R με
Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι:
Δ2. Με θα έχουμε:
Δ3.
Δ4. Επειδή για θα είναι οπότε το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι:
Φιλικά Στάθης
- Συνημμένα
-
- Λύσεις των θεμάτων πανελλαδικών εξετάσεων θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης 2011(1) .doc
- (258.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 337 φορές
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Τετ Μάιος 18, 2011 6:13 pm, έχει επεξεργασθεί 12 φορές συνολικά.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Μια διόρθωση συνάδελφε: Στο δ3 ζητάει το αριστερό όριο στο μηδέν και το σωστό αποτέλεσμα είναι -οο.
- Μάκης Χατζόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 2456
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Το Δ θέμα (το τελευταίο ερώτημα), δεν μοιάζει πολύ με αυτό;;
Νομίζω ότι ήταν μια καταπληκτική ιδέα και σκέψη που βλέπουμε για πρώτη φορά στις εξετάσεις και εγώ προσωπικά την συνάντησα εδώ από τον χρήστη dennys με λύτη τον Κακαβά Βασίλειο! Μπράβο παιδιά!
Νομίζω ότι ήταν μια καταπληκτική ιδέα και σκέψη που βλέπουμε για πρώτη φορά στις εξετάσεις και εγώ προσωπικά την συνάντησα εδώ από τον χρήστη dennys με λύτη τον Κακαβά Βασίλειο! Μπράβο παιδιά!
(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Μιλάω από τη σκοπιά των μαθητών. Ήταν πολλά. Κουράστηκα να γράφω :p
Eυτυχώς τα έλυσα όλα και μου άρεσαν και όλα τα θέματα, τα βρήκα σαφώς πιο πετυχημένα από άποψη κρίσεως.
Βέβαια δεν έλειψαν οι χαζομάρες.
Στο 4ο θέμα στο Δ1 άλλαξα τα όρια στο ολοκλήρωμα αλλά δεν άλλαξα τα πρόσημα στο πρώτο μέλος, το άφησα 1-f(x)
Βέβαια μετά που παραγώγισα τα πήρα κανονικά f(x)-1.
Ελπίζω οι καλοί, καλοκάγαθοι, απίστευτα έξυπνοι, ολοκληρωτικά ευεργέτες της κοινωνίας και πάνω απ' όλα ψυχόπονοι άνθρωποι να μην το προσέξουνε ή τουλάχιστον να κάνουνε τα στραβά μάτια.
Eυτυχώς τα έλυσα όλα και μου άρεσαν και όλα τα θέματα, τα βρήκα σαφώς πιο πετυχημένα από άποψη κρίσεως.
Βέβαια δεν έλειψαν οι χαζομάρες.
Στο 4ο θέμα στο Δ1 άλλαξα τα όρια στο ολοκλήρωμα αλλά δεν άλλαξα τα πρόσημα στο πρώτο μέλος, το άφησα 1-f(x)
Βέβαια μετά που παραγώγισα τα πήρα κανονικά f(x)-1.
Ελπίζω οι καλοί, καλοκάγαθοι, απίστευτα έξυπνοι, ολοκληρωτικά ευεργέτες της κοινωνίας και πάνω απ' όλα ψυχόπονοι άνθρωποι να μην το προσέξουνε ή τουλάχιστον να κάνουνε τα στραβά μάτια.
1+1 δεν κάνει απαραίτητα 2.
Μπορεί να κάνει και ή
**Eίμαι μαθητής**
Μπορεί να κάνει και ή
**Eίμαι μαθητής**
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Πολύ καλά ήταν τα σημερινά θέματα .
Μου φαίνεται παράλογο όμως να απαντήσω αν είναι σωστό ή λάθος αυτό :
Μου φαίνεται παράλογο όμως να απαντήσω αν είναι σωστό ή λάθος αυτό :
Για κάθε μιγαδικό αριθμό ορίζουμε .
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Το θέμα Δ4 ήταν γνωστό απο καιρό στη βιβλιογραφία.
Υπάρχει και στο βιβλίο (το μωβ) του οποίου ενας εκ των τριών συγγραφέων είναι και ο αγαπητός Μπάμπης. Ειναι λυμένο σελ. 578 , το θέμα 16.4.
Καλή ξεκούραση σε όλους
Αθανασιάδης Κώστας
Υπάρχει και στο βιβλίο (το μωβ) του οποίου ενας εκ των τριών συγγραφέων είναι και ο αγαπητός Μπάμπης. Ειναι λυμένο σελ. 578 , το θέμα 16.4.
Καλή ξεκούραση σε όλους
Αθανασιάδης Κώστας
- onedeadslime
- Δημοσιεύσεις: 23
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 15, 2011 8:09 pm
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Τα θέματα μου φάνηκαν πολύ δύσκολα, αλλά καλά θέματα, χαιρόσουν να τα λύνεις!
Το Β3 ήταν λίγο δύσκολο αν δεν έχεις βρει εκ των προτέρων ότι w=2x (εγώ το βρήκα στο Β4, αποδεικνύεται και χωρίς αυτό με τριγωνική ανισότητα).
Το Β3 ήταν λίγο δύσκολο αν δεν έχεις βρει εκ των προτέρων ότι w=2x (εγώ το βρήκα στο Β4, αποδεικνύεται και χωρίς αυτό με τριγωνική ανισότητα).
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Δείτε εδώ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
viewtopic.php?f=54&t=14407
viewtopic.php?f=53&t=13761&p=73968#p73968
viewtopic.php?f=54&t=13286&p=71487#p71487
viewtopic.php?f=55&t=14550&p=77200#p77200
Μράβο Βασίλη ……………
viewtopic.php?f=54&t=14407
viewtopic.php?f=53&t=13761&p=73968#p73968
viewtopic.php?f=54&t=13286&p=71487#p71487
viewtopic.php?f=55&t=14550&p=77200#p77200
Μράβο Βασίλη ……………
Χρήστος Λώλης
Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011
Στάθη πιστεύω ότι με αυτο τον τρόπο για το Δ2 θέλει επιλπέον αιτιολόγηση οτι η f είναι συνεχής με σταθερό θετικό πρόσημο.ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Θέμα Α
Α.1 …
Α.2…
Α.3 α) (Σ), β(Σ), γ) (Λ), δ) (Λ), ε) (Σ)
Θέμα Β
Β.1
οπότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z είναι κύκλος με κέντρο (την εικόνα του και ακτίνα
Β.2. Από τη σχέση
Β.3
Είναι
Επειδή όμως ο z κινείται στον κύκλο του Β.1 ερωτήματος θα ισχύει:
Β.4. Είναι :
Θέμα Γ
Γ1.
Έχουμε:
Για οπότε ισχύει:
Θα δείξω ότι για κάθε πραγματική τιμή του x.
Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R με και
Για και ομοίως οπότε η h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το άρα από την (2) θα έχουμε:
Για
Γ2. Είναι με
Θα είναι για και επειδή η f είναι συνεχής στο η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο
Επίσης για
και επειδή η f είναι συνεχής στο η f θα είναι γνησίως φθίνουσα στο και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το
Γ3. Είναι
Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R (πράξεις με παραγωγίσιμες) με
Με
Για γνησίως αύξουσα στο και για
γνησίως φθίνουσα στο
Οπότε η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 1 το
Επειδή
Και
Έτσι για την g ισχύει υπάρχει ώστε το οποίο είναι και μοναδικό λόγω της μονοτονίας της g στο και για
και για
Οπότε η f παρουσιάζει ένα μόνο σημείο καμπής το στο διάστημα
Ομοίως για την g ισχύει: υπάρχει ώστε το οποίο είναι και μοναδικό λόγω της μονοτονίας της g στο και για
και για
Οπότε η f παρουσιάζει ένα μόνο σημείο καμπής το στο διάστημα
Γ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο και , διότι
όπως δείξαμε για οπότε για οπότε από το θεώρημα του Bolzano θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ώστε
Επειδή προφανώς η k είναι παραγωγίσιμη στο (διαφορά παραγωγισίμων) με
η συνάρτηση k είναι γνησίως φθίνουσα στο και άρα το
είναι μοναδικό
Θέμα Δ.
Δ1. Είναι
Ομοίως λόγω συμμετρικής σχέσης βρίσκουμε:
Επειδή η g είναι συνεχής στο θα είναι και συνεχής στο R (πηλίκο συνεχών) και επειδή θα είναι η παραγωγίσιμη στο R οπότε και η παραγωγίσιμη με
Για τον ίδιο λόγω (λόγω συμμετρικών σχέσεων) βρίσκουμε ότι και η g είναι παραγωγίσιμη στο R με
Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι:
Δ2. Με θα έχουμε:
Δ3.
Δ4. Επειδή για θα είναι οπότε το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι:
Φιλικά Στάθης
Αυτο αποφευγεται αν την λύσουμε με
...
Τα θέματα πιστεύω ηταν δύσκολα , αλλά ωραία , χωρίς ασάφειες και λυνόταν με περισσότερους απο έναν τρόπο.
φιλικά
Αθανασιάδης Κώστας.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες