Συναρτησιακή 161

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x+y)+f(xy)=x+y+xy ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+,$ όπου $\mathbb{R}^+=(0,+\infty).$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x+y)+f(xy)=x+y+xy ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+,$ όπου $\mathbb{R}^+=(0,+\infty).$

Δεν πιστεύω ότι είναι ο ευκολότερος τρόπος, πάντως δίνει την απάντηση: f(x) = x

για κάθε $x\in(0,\infty)$ , που βέβαια ικανοποιεί την συναρτησιακή.

Για $t\ge4$ θέτουμε $\displaystyle{x=\frac{ t+\sqrt{t^2-4t}}{2}, \, y = \frac{ t+\sqrt{t^2-4t}}{t+\sqrt{t^2-4t}-2}$ .

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι ισχύει x>0, y>0, x+y=xy=t

. Άρα η δοθείσα δίνει f(t)+f(t) = t+t

, δηλαδή

για όλα τα $t\ge 4$ (*). Μένει να δείξουμε το ίδιο για τα

στο

.

Η αρχική για y=1

δίνει

. Άρα για $x\in[3,4)$ έχουμε $x+1\ge 4$ . Άρα από (*), f(x+1)=x+1

οπότε

.

Με ακριβώς τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι f(x)=x

στο

, μετά στο [1,2)

και τέλος στο (0,1)

. Τελιώσαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#3

Μιάς και το είχα κάνει,το παραθέτω:(το υπόλοιπο δεν επετεύχθη,παρά τη βοήθεια του Θανάση.Με κέρδισε ο...Μορφέας!)
Για $\displaystyle{ x = y = 2 }$ έχω $\displaystyle{ 2f(4) = 8 \Rightarrow f(4) = 4 }$
Τώρα για $\displaystyle{ y = \frac{4}{x} }$ λαμβάνω:
$\displaystyle{ f(x + \frac{4}{x}) + f(4) = x + \frac{4}{x} + 4 \Rightarrow f(x + \frac{4}{x}) = x + \frac{4}{x} }$ (1)
Αν τώρα εξετάσουμε τη συνάρτηση $\displaystyle{ x + \frac{4}{x} }$ θα δούμε πως $\displaystyle{ x + \frac{4}{x} \ge 4 }$ για $\displaystyle{ x > 0 }$
Θέτοντας τώρα: $\displaystyle{ y = x + \frac{4}{x},y \ge 4 }$ ,έχουμε,λόγω της (1) $\displaystyle{ f(y) = y,y \ge 4 }$
Θανάση αυτό---> για σένα!

Συναρτησιακή 161

Συναρτησιακή 161

Re: Συναρτησιακή 161

Re: Συναρτησιακή 161

Μέλη σε σύνδεση