Υπάρχει συνάρτηση...

#1

Δείξτε ότι για κάθε συνάρτηση $\varphi : (1,+\infty) \to \mathbb{R}$ υπάρχει μοναδική συνάρτηση $f:(1,+\infty)\to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\sin f(t) + tf(t) = \varphi(t), \forall t \in (1,+\infty)$ .

Επιπλέον, αν η $\varphi$ είναι συνεχής, τότε και η

είναι συνεχής, ενώ αν η $\varphi$ είναι παραγωγίσιμη το ίδιο ισχύει και για την

#2

Η συνάρτηση $\displaystyle{g(y)=siny+ty,a>1}$ είναι 1-1 και επί του R άρα για κάθε $\displaystyle{t>1}$ η εξίσωση $\displaystyle{g(y)=\phi (t) }$ έχει μοναδική λύση $\displaystyle{f(t)}$

$\displaystyle{\phi (t)-\phi (t_0)=sinf(t)-sinf(t_0)+tf(t)-t_0f(t_0)-tf(t_0)+tf(t_0)=sinf(t)-sinf(t_0)+t(f(t)-f(t_0))-(t-t_0)f(t_0)}$ [*}
άρα
$\displaystyle{|\phi (t)-\phi (t_0)|=|sinf(t)-sinf(t_0)+t(f(t)-f(t_0))-(t-t_0)f(t_0)}$ τότε από τριγωνική εχουμε

$\displaystyle{|\phi (t)-\phi (t_0)|+|(t-t_0)f(t_0)|\ge |sinf(t)-sinf(t_0)+t(f(t)-f(t_0))|\ge |t(f(t)-f(t_0))|-|sinf(t)-sinf(t_0)|}$
όμως
$\displaystyle{|f(t)-f(t_0)|\ge |sinf(t)-sinf(t_0)|}$

άρα η προηγούμενη γίνεται
$\displaystyle{|\phi (t)-\phi (t_0)|+|(t-t_0)f(t_0)|+|f(t)-f(t_0)|\ge t|f(t)-f(t_0)|}$
ή
$\displaystyle{|\phi (t)-\phi (t_0)|+|(t-t_0)f(t_0)|\ge (t-1)|f(t)-f(t_0)|\ge 0}$

Αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle{t\to t_0>1}$ εχουμε $\displaystyle{f(t)\to f(t_0)}$ αρα f συνεχής

Είναι λόγω τη [*]
$\displaystyle{\frac{\phi (t)-\phi (t_0)}{t-t_0}+f(t_0)=\frac{sinf(t)-sinf(t_0)}{f(t)-f(t_0)}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}+t\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}}$
αρα

$\displaystyle{\frac{\phi (t)-\phi (t_0)}{t-t_0}+f(t_0)=\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}(\frac{sinf(t)-sinf(t_0)}{f(t)-f(t_0)}+t)}$ με $\displaystyle{\frac{sinf(t)-sinf(t_0)}{f(t)-f(t_0)}+t\ne 0}$ αφού $\displaystyle{t\to t_0>1}$

παίρνοντας όρια $\displaystyle{t\to t_0}$ προκύπτει ότι f παραγωγίσιμη

Υπάρχει συνάρτηση...

Υπάρχει συνάρτηση...

Re: Υπάρχει συνάρτηση...

Μέλη σε σύνδεση