Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 (...) με 4 ίδια ψηφία

parmenides51 · #1

Παίζοντας απο χθές με τα ψηφία είχα την ιδέα να βρώ γενικούς τύπους που να μας δίνουν τους αριθμούς 0-9 ανεξαρτήτως ψηφίου που θα χρησιμοποιήσουμε.
Δεν επιτρέπονται λογάριθμοι,τριγωνομετρικές συναρτήσεις και ακέραιο μέρος.
Μόνο λυκειακοί τύποι, όχι απαραίτητα μόνο τις 4 πράξεις.
Έστω $\alpha \in \left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}$ τότε:
$0=\alpha -\alpha +\alpha -\alpha=0+0$
$1=\alpha :\alpha +\alpha -\alpha=1+0$
$2=\alpha :\alpha +\alpha :\alpha=1+1$
$3=\left( \alpha +\alpha +\alpha\right):\alpha=3\alpha:\alpha$
$9=\alpha :\left( \alpha ,\bar{\alpha} -\alpha\right)=\alpha :0 ,\bar{\alpha}=\alpha :\frac{\alpha }{9}=9\alpha:\alpha$
Μπορούμε να κατασκευάσουμε τα υπόλοιπα νούμερα δηλαδή τα 4,5,6,7,8 με τον ίδιο τρόπο;
Δεν εχω καταφέρει τα υπόλοιπα μέχρι στιγμής.

Alchemist · #2

Ομοίως με το 3, γίνονται και τα υπόλοιπα.

4: (α+α+α+α)/α=4α/α=4
μπλα
μπλα
μπλα

Ίσως δεν κατάλαβα κάτι καλά

#3

Alchemist έγραψε:Ομοίως με το 3, γίνονται και τα υπόλοιπα.

4: (α+α+α+α)/α=4α/α=4
μπλα
μπλα
μπλα

Ίσως δεν κατάλαβα κάτι καλά

Ζητάει με τέσσερα ίδια ψηφία a να φτάξεις όλους τους αριθμούς. Στο παραπάνω χρησιμοποίησης 5, ο επόμενος έχει 6 κλπ.

Μ.

Ιστοσελίδα · #4

Alchemist έγραψε:Ομοίως με το 3, γίνονται και τα υπόλοιπα.

4: (α+α+α+α)/α=4α/α=4
μπλα
μπλα
μπλα

Ίσως δεν κατάλαβα κάτι καλά

Θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε 4 ακριβώς τέσσερις φορές το ίδιο ψηφίο

#5

δεν νομίζω ότι μπορεί να βρεθεί τρόπος να κατασκευάσουμε όλους τους αριθμούς (από το 1 μέχρι το 9) με χρήση του αριθμού α (τέσσερις ακριβώς φορές). Όμως για κάθε αριθμό από το 1 μέχρι το 9 μπορούμε ίσως να δείξουμε ότι γράφεται αν χρησιμοποιήσουμε οποιοδήποτε ψηφίο (1 έως 9) τέσσερις φορές.

Παράδειγμα για το 4 έχουμε:

4=1+1+1+1

4= $2^{2}+2-2$

$4=3+3^{3-3}$

4=4+(4-4).4

$4=5-5^{5-5}$

4=6-(6+6):6

$4=\sqrt{9}+9^{9-9}$

Πάντως με χρήση του ακεραίου μέρους, μπορούμε να έχουμε τον αριθμό 5 ως εξής:

$5=\left[\frac{aa}{a+a} \right]$

όπου aa είναι ο διψήφιος αριθμός με ψηφίο μονάδων το a και ψηφίο δεκάδων επίσης το a

#6

Φυσικά, εφ' όσων κατασκευάσαμε το 3, μπορούμε να κατασκευάσουμε και το 6 = 3!. Πιο συγκεκριμένα

$\displaystyle{ 6 = \left( \frac{a+a+a}{a}\right)!}$

#7

Νομίζω ότι έχουμε μια σπαζοκεφαλιά (που δεν ξέρω αν έχει λύση):

Το 5 μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας 4 άσσους; (Αλλά μόνο με τους συμβολισμούς του Λυκείου) (Άρα το παραγοντικό το εξαιρούμε)
Με τους υπόλοιπους αριθμούς του συνόλου που έχει γράψει ο θεματοθέτης, γράφεται ως εξής:

$5=2+2+2:2 5=3+3-3:3 5=4+4^{4-4} 5=6-6^{6-6} 5=7-(7+7):7 5=8-\sqrt{8+8:8} 5=\sqrt{9}+\sqrt{9}-9:9$

parmenides51 · #8

Το παραγοντικό επιτρέπεται (Γ΄Λυκείου Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής/ Συνδυαστική).

Demetres έγραψε: $\displaystyle{ 6 = \left( \frac{a+a+a}{a}\right)!}$

Τα υπόλοιπα πεντάρια:
5=(1+1+1)!-1=3!-1=6-1
5=5+(5-5):5=5+0:5=5+0

Γενικά:
$\alpha-2=\alpha-(\alpha+\alpha):\alpha=\alpha-2\alpha:\alpha$
$\alpha -1=\left( \alpha \cdot \alpha -\alpha \right):\alpha =\frac{\alpha \left(\alpha -1 \right)}{\alpha }$
$\alpha \, \, \, \ =\alpha+(\alpha-\alpha):\alpha=\alpha+0:\alpha=\alpha+0$
$\alpha +1=\left( \alpha \cdot \alpha +\alpha \right):\alpha =\frac{\alpha \left(\alpha +1 \right)}{\alpha }$
$\alpha+2=\alpha+(\alpha+\alpha):\alpha=\alpha+2\alpha:\alpha$

parmenides51 · #9

Κατα λάθος βρήκα τα 10, 11 και 12:

$\displaystyle{10=\frac{\alpha \alpha- \alpha}{\alpha }=\frac{\alpha\alpha }{\alpha }-\frac{\alpha }{\alpha }=11-1}$

$\displaystyle{11=\frac{\alpha \alpha }{\sqrt{\alpha}\sqrt{\alpha} }=\frac{\alpha\alpha }{\alpha }=11}$

$\displaystyle{12=\frac{\alpha \alpha+ \alpha}{\alpha }=\frac{\alpha\alpha }{\alpha }+\frac{\alpha }{\alpha }=11+1}$

Όλοι οι παραπλήσιοι αριθμοί είναι ευπρόσδεκτοι

Μονοψήφιοι μένουν οι 4,5,7 και 8.

parmenides51 · #10

Για το 5:
$\displaystyle{\frac{\alpha }{\sqrt{\alpha }+\sqrt{\alpha}}:\sqrt{\alpha \%}=\frac{\alpha }{2\sqrt{\alpha }}:\sqrt{\frac{\alpha }{100}}=\frac{\alpha }{2\sqrt{\alpha }}:\frac{\sqrt{\alpha} }{10}=\frac{\alpha }{2\sqrt{\alpha }}\cdot \frac{10}{\sqrt{\alpha} }=\frac{10\alpha }{2\alpha}=5}$

Μονοψήφιοι μένουν οι 4, 7 και 8.

parmenides51 · #11

Για το 9
έχουμε και δεύτερο τρόπο κατασκευής, χωρίς περιοδικούς δεκαδικούς,
βασισμένος σε ιδεά του Δημήτρη εδώ:
$\displaystyle{ \frac{{\sqrt \alpha }}{{\sqrt {\alpha \% } }} - \alpha :\alpha = \sqrt {\frac{\alpha }{{\frac{\alpha }{{100}}}}} - \alpha :\alpha = 10 - 1 = 9 }$

αντίστοιχα για το 10:
$\displaystyle{ \frac{{\sqrt \alpha }}{{\sqrt {\alpha \% } }} \cdot \left(\alpha :\alpha \right) = \sqrt {\frac{\alpha }{{\frac{\alpha }{{100}}}}} \cdot 1 = 10 \cdot 1 = 10 }$

κι αντίστοιχα για το 11:
$\displaystyle{ \frac{{\sqrt \alpha }}{{\sqrt {\alpha \% } }} + \alpha :\alpha = \sqrt {\frac{\alpha }{{\frac{\alpha }{{100}}}}} + \alpha :\alpha = 10 +1 = 11}$

Μονοψήφιοι μένουν οι 4, 7 και 8.
Ας δοκιμάσουμε και για δευτερο τρόπο για το 6 χωρίς παραγοντικό, αν υπάρχει.

Σχετικά θέματα για τους μόνους δύσκολους αριθμούς να κατασκευαστούν:
Να κατασκευάσετε το 7 με 4 διπλά
Να κατασκευάσετε το 7 με 4 τεσσάρια (εύκολο)
Να κατασκευάσετε το 8 με 4 άσσους
Να κατασκευάσετε το 8 με 4 πεντάρια
Να κατασκευάσετε το 9 με 4 εξάρια

edit: Συμπλήρωσα το 10

parmenides51 · #12

Δεύτερος τρόπος για το 5 (λίγο καμένος) :

$\displaystyle{\frac{\sqrt{\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha} \% }}}{\sqrt{\sqrt{\alpha}}+\sqrt{\sqrt{\alpha}}} = \frac{\sqrt {\frac{\sqrt{\alpha} }{{\frac{1}{{100}}}}}}{2\sqrt{\sqrt{\alpha}}} = \frac{10\sqrt{\sqrt{\alpha}}}{2\sqrt{\sqrt{\alpha}}}=\frac{10}{2}=5 }$

#13

Μια ιδέα για το 4

4= η λύση της εξίσωσης: $\sqrt{a+a}=\frac{a}{\sqrt{\sqrt{a}}}$

Και αν επιτρέψουμε τους λογάριθμους (γιατί όχι, αφού διδάσκονται στο Λύκειο):

4= $\frac{lna.lna}{ln\sqrt{a}.ln\sqrt{a}}$

parmenides51 · #14

Αν επιτρέψουμε τους λογάριθμους, τότε με την ίδια λογική του Δημήτρη:

$7=\displaystyle{\frac{lna}{ln\sqrt{\sqrt{\sqrt{a}}}}-a:a}}$

$8=\displaystyle{\frac{lna\cdot lna}{ln\sqrt{\sqrt{a}}\cdot ln\sqrt{a}}}$

λύνεται το πρόβλημα. Μπορεί όμως να λυθεί χωρίς λογάριθμους;

Πρέπει $a\neq 1$ για να μην μηδενίζεται ο παρανομαστής.

parmenides51 · #15

Με λογάριθμους κατασκευάζεται και το 4 και το 8 χωρίς περιορισμούς για το ψηφίο α ως εξής:

$\displaystyle{4=\log _{\sqrt{\sqrt{\alpha +\alpha }}}\left(\alpha +\alpha \right)=\frac{ln2\alpha}{ln\sqrt{\sqrt{2\alpha}}}=\frac{ln2\alpha}{ln\sqrt[4]{2\alpha}}=\frac{ln2\alpha}{\frac{1}{4}ln2\alpha}}$

$\displaystyle{8=\log _{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\alpha +\alpha }}}}\left(\alpha +\alpha \right)=\frac{ln2\alpha}{ln\sqrt{\sqrt{\sqrt{2\alpha}}}}=\frac{ln2\alpha}{ln\sqrt[8]{2\alpha}}=\frac{ln2\alpha}{\frac{1}{8}ln2\alpha}}$

Μένει το 7 χωρίς περιορισμούς για το ψηφίο α .
Ισως τελικά οι αριθμοί 4,7,8 να μην κατασκευάζονται χωρίς λογάριθμους.

irakleios · #16

Έχω μια ιδέα...

Αφού βρήκαμε τύπο για το 0 = a - a + a - a

και για το 1 = a : a + a - a

μας χρειάζεται μόνο αυτός

(a:a)^a + a = a + 1

άρα τους κατασκευάσαμε όλους...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#17

irakleios έγραψε:Έχω μια ιδέα...

Αφού βρήκαμε τύπο για το και για το μας χρειάζεται μόνο αυτός

άρα τους κατασκευάσαμε όλους...
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
δείξτε κατανόηση , είμαι μικρός...

Ηράκλειε, ίσως έχεις παρανοήσει την ερώτηση: Ζητάμε ένα ψηφίο, εκ των προτέρων καθορισμένο, με το οποίο γράφουμε όλους τους αριθμούς με τέσσερεις χρήσεις του.

Αυτό που έγραψες έχει αλλαγή του ψηφίου σε κάθε βήμα. Π.χ. έγραψες τον 5 ως (4:4)^4 + 4

, τον 6 ως (5:5)^5 + 5

, τον 7 ως (6:6)^6 + 6

και λοιπά. Άλλο όμως ζητάει το πρόβλημα.

Φιλικά,

Μιχάλης

irakleios · #18

αχα...οκ !

Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 (...) με 4 ίδια ψηφία

Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 (...) με 4 ίδια ψηφία

Re: Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 με 4 ίδια ψηφία

Re: Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 με 4 ίδια ψηφία

Re: Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 με 4 ίδια ψηφία

Re: Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 με 4 ίδια ψηφία

Re: Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 με 4 ίδια ψηφία

Re: Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 με 4 ίδια ψηφία

Re: Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 με 4 ίδια ψηφία

Re: Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 με 4 ίδια ψηφία

Re: Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 (...) με 4 ίδια ψηφία

Re: Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 (...) με 4 ίδια ψηφία

Re: Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 (...) με 4 ίδια ψηφία

Re: Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 (...) με 4 ίδια ψηφία

Re: Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 (...) με 4 ίδια ψηφία

Re: Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 (...) με 4 ίδια ψηφία

Re: Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 (...) με 4 ίδια ψηφία

Re: Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 (...) με 4 ίδια ψηφία

Re: Να κατασκευάσετε τους αριθμούς 0-9 (...) με 4 ίδια ψηφία

Μέλη σε σύνδεση