Αυστηρώς σχολική

KARKAR · #1

Δίνεται τόξο $\displaystyle\overset{\frown}{AB}=120^{o}$ με μέσο

. Η εφαπτομένη του τόξου στο

, και η προέκταση της

, τέμνονται στο

.

Υπολογίστε την περίμετρο και το εμβαδόν του τετραπλεύρου OASM

sokratis lyras · #2

Ας κάνω μία προσπάθεια:
OAM

ισόπλευρο και MS//AO

άρα

και

κάθετες.
Φέρνω διάμεσο

του ορθογωνίου τριγώνου SAM

.To

είναι ισόπλευρο άρα $SM=\frac{R}{2}$ (όπου R η ακτίνα του κύκλου).
Στο ASM

έχω

άρα $sin60=\frac{\sqrt{3}}{2}$ άρα $AS=\frac{\sqrt{3}R}{2}$ .
Άρα μέτα από απλές πράξεις έχω $E=\frac{3\sqrt{3}R^2}{8}$ και $P=\frac{5R+\sqrt{3}R}{2}$

Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος στις πράξεις..
Φιλικά,
Σωκράτης Λυράς

Grigoris K. · #3

Μία αμιγώς γεωμετρική προσπάθεια από Α' λυκείου:

Έστω $\rho$ η ακτίνα του κύκλου. Σχηματίζονται τα ισόπλευρα και ίσα τρίγωνα $\triangle BOM = \triangle MOA$ . Επιπλέον OA // BS

(σχηματίζουν εντός και επί ταυτά γωνίες με άθροισμα 180). Άρα $AS \perp BS$ .

Στο τραπέζιο $OASM : E_{OASM} = \displaystyle \frac{\rho + SM}{2} \cdot AS$ (1)

Όμως στο $\triangle MAS$ φέρουμε το ύψος $MM' \perp AO (OM' = M'A = \displaystyle \frac{\rho}{2})$

Το τετράπλευρο M'ASM

έχει 3 ορθές γωνίες και τις απέναντι πλευρές παρ/λες άρα είναι ορθ. παρ/μο με $SM = \displaystyle \frac{\rho}{2}$

Επίσης στο $\triangle ASM : \rho^2 = AS^2 + \displaystyle \frac {\rho^2}{4} \Leftrightarrow AS = \frac{\sqrt{3}}{2} \rho$

Επανερχόμαστε στην (1) : $E_{OASM} = \displaystyle \frac{\rho + SM}{2} \cdot AS = \frac{\rho + \frac{\rho}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\rho = \frac{3\sqrt{3}\rho^2}{8}$

Τέλος $P_{OASM} = 2 \rho + \displaystyle \frac{\rho}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\rho = \frac {5\rho + \sqrt{3}\rho}{2}$

Αυστηρώς σχολική

Αυστηρώς σχολική

Re: Αυστηρώς σχολική

Re: Αυστηρώς σχολική

Μέλη σε σύνδεση