Συναρτησιακή 175

#1

Υπάρχει γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f^{\prime}(x) = f(f(x)),$ για κάθε

;

Putnam 2010

#2

Θανάση την είχα δώσει --->εδώ και βρίσκεται
επίσης στο 2ο τεύχος του εικοσιδωδεκάεδρου.

Υ.Γ:Τώρα που την ξαναβλέπω εγώ έχω δώσει σύνολο αφίξεως το $\displaystyle{ (0, + \infty ) }$ κι εσύ τους πραγματικούς.Μπερδεύτηκα!

#3

Παρατηρούμε ότι:

$\bullet$ Η $\displaystyle{f^{\prime}}$ είναι γνησίως αύξουσα (γιατί η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα).

$\bullet$ Ισχύει $\displaystyle{f^{\prime}\left( x \right) > 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ . Πράγματι, αν για κάποιο $\displaystyle{{x_0} \in \mathbb{R}}$ είχαμε ότι $\displaystyle{f^{\prime}\left( {{x_0}} \right) \le 0,}$ τότε για $\displaystyle{x < {x_0}}$ θα είχαμε ότι $\displaystyle{f^{\prime}\left( x \right) < f^{\prime}\left( {{x_0}} \right) \le 0,}$ πράγμα άτοπο.

$\bullet$ Η $\displaystyle{f}$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f^{\prime\prime}\left( x \right) = f^{\prime}\left( {f\left( x \right)} \right)f^{\prime}\left( x \right)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ . Άρα, η $\displaystyle{f^{\prime \prime}}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}.}$

$\bullet$ Εφόσον η $\displaystyle{f^{\prime}}$ είναι κυρτή και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R},}$ θα ισχύει $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f^{\prime}\left( x \right) = + \infty .}$ Επομένως, υπάρχει $\displaystyle{M > 0}$ τέτοιος, ώστε για $\displaystyle{x > M}$ να ισχύει $\displaystyle{f^{\prime}\left( x \right) > 2.}$ Έχουμε τώρα ότι για κάθε $\displaystyle{x > M}$ ισχύει:

$\displaystyle{\int_M^x {f^{\prime}\left( t \right){\rm{ }}} dt > \int_M^x {{\rm{2 }}} dt \Rightarrow f\left( x \right) - f\left( M \right) > 2\left( {x - M} \right).}$

Άρα, υπάρχει $\displaystyle{N > M}$ τέτοιος, ώστε $\displaystyle{f\left( x \right) > x + 2}$ για κάθε $\displaystyle{x > N.}$

$\bullet$ Έστω τυχαίο, αλλά σταθεροποιημένο $\displaystyle{x > N.}$ Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την $\displaystyle{f}$ στο διάστημα $\displaystyle{\left[ {x,f\left( x \right)} \right],}$ οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{\xi \in \left( {x,f\left( x \right)} \right)}$ τέτοιο, ώστε:

$\displaystyle{f^{\prime}\left( \xi \right) = \frac{{f\left( {f\left( x \right)} \right) - f\left( x \right)}}{{f\left( x \right) - x}} = \frac{{f^{\prime}\left( x \right) - f\left( x \right)}}{{f\left( x \right) - x}}}.$

Αλλά

$\displaystyle{f^{\prime}\left( \xi \right) > f^{\prime}\left( x \right),}$

οπότε

$\displaystyle{f^{\prime}\left( x \right) - f\left( x \right) > f^{\prime}\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - x} \right) > 2f^{\prime}\left( x \right)}$

δηλαδή

$\displaystyle{f^{\prime}\left( x \right) < - f\left( x \right) < - x - 2 < 0}$

πράγμα άτοπο.

Ώστε, δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση $\displaystyle{f.}$

Συναρτησιακή 175

Συναρτησιακή 175

Re: Συναρτησιακή 175

Re: Συναρτησιακή 175

Μέλη σε σύνδεση