ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

sonaht · #1

Παιδιά, έχω δύο ασκήσεις που δυσκολεύομαι πολύ να τις λύσω. ισως μπορεί να με βοηθήσει κάποιος

1) Αν Ο πεπερασμένη ομάδα και Η κανονική τάξης 7 με [Ο:Η]=20, τότε κάθε στοιχείο
της Ο τάξης 7 ανήκει στην Η.

4) Βρείτε όλους τους ομομορφισμούς ομάδων μεταξύ των Z4 και Z3 και εξηγήστε τη
μέθοδό σας.

3) Έστω οι πίνακες Α={(1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)}, Β={(-1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1)}. Δείξτε ότι η ομάδα Υ που γεννάται από τα
στοιχεία Α και Β είναι αβελιανή υποομάδα της SO(3) (είναι η ομάδα των ορθογωνίων πινάκων με πράξη τον πολλαπλασιασμό) και ότι η Υ είναι ισόμορφη με την Ζ2ΧΖ2.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#2

sonaht έγραψε:Παιδιά, έχω δύο ασκήσεις που δυσκολεύομαι πολύ να τις λύσω....

4) Βρείτε όλους τους ομομορφισμούς ομάδων μεταξύ των Z4 και Z3 και εξηγήστε τη
μέθοδό σας.

α) οι ασκήσεις είναι τρείς!
β) "μεταξύ των Z4 και Z3" ; Δηλαδή από το ${\mathbb{Z}}_{4}$ στο ${\mathbb{Z}}_{3}$ , αλλά και απο το ${\mathbb{Z}}_{4}$ στο ${\mathbb{Z}}_{3}$ ;
Όπως και να έχει, δίνω την βασική ιδέα της λύσης της 2ης ασκήσης ( υπ. αριθμ. 4) ώστε να προσπαθήσεις για την πλήρη επίλυσή της.

Έστω $\phi:{\mathbb{Z}}_{4}\longrightarrow{\mathbb{Z}}_{3}$ ομομορφισμός ομάδων.
Τότε για κάθε στοιχείο $\overline{\,\rm{i}\,}_4\in{\mathbb{Z}}_4$ , πρέπει $\circ\bigl({\phi\bigl({\overline{\,\rm{i}\,}_4}\bigr)}\bigr)\,\big|\,\circ\bigl({\overline{\,\rm{i}\,}_4}\bigr)$ . Επομένως επειδή $\circ\bigl({\overline{1}_4}\bigr)=4$ , πρέπει $\circ\bigl({\phi\bigl({\overline{1}_4}\bigr)}\bigr)\,\big|\,4$ , ή ισοδύναμα, $\circ\bigl({\phi\bigl({\overline{1}_4}\bigr)}\bigr)\in\{{1,2,4}\}$ . Αλλά πρέπει επίσης $\circ\bigl({\phi\bigl({\overline{1}_4}\bigr)}\bigr)\,\big|\,3$ , αφού είναι στοιχείο της ${\mathbb{Z}}_{3}$ . Άρα $\circ\bigl({\phi\bigl({\overline{1}_4}\bigr)}\bigr)\in\{{1,3}\}$ .
Επομένως $\circ\bigl({\phi\bigl({\overline{1}_4}\bigr)}\bigr)=1$ , ή ισοδύναμα $\phi\bigl({\overline{1}_4}\bigr)=\overline{0}_3$ ...κ.λ.π.

ΖΩΗ · #3

sonaht έγραψε: 1) Αν Ο πεπερασμένη ομάδα και Η κανονική τάξης 7 με [Ο:Η]=20, τότε κάθε στοιχείο
της Ο τάξης 7 ανήκει στην Η.

Αν

είναι ένα στοιχείο της

τάξης

τότε για την τάξη του στοιχείου

της ομάδας O/H

έχουμε:

$\bullet \circ \left(xH \right) / |O/H|\Rightarrow \circ \left(xH \right) / 20$ .

$\bullet \left( xH \right)^7 = x^7 H = e H = H \Rightarrow \circ \left(xH \right) / 7$ .

Επομένως, $\circ \left(xH \right) = 1$ .

Από εδώ μπορείς να φτάσεις στο ζητούμενο;;

sonaht · #4

Ευχαριστώ πολύ παιδιά. Ναι Ζωή μπορώ να φτάσω στο ζητούμενο.

ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μέλη σε σύνδεση