Δυσκολίες σε ασκήσεις απειροστικού 3

DinaG · #1

Καλησπέρα....επειδή δυσκολεύομαι με κάποιες ασκήσεις, θα ήθελα την βοήθειά σας και θα παρακαλούσα οι λύσεις να είναι αναλυτικές ώστε να τις καταλάβω,,,ευχαριστώ!

1) Θεωρούμε τη δύναμη f(x,y,z)=(ycos x+cos z, sinx, -xsin z)

α) Να αποδείξετε ότι είναι συντηρητική
β) Να προσδιορίσετε ένα βαθμωτό δυναμικό της
γ) Να βρείτε το έργο που παράγει η δύναμη όταν μετακινεί το σημείο εφαρμογής της από το σημείο O(0,0,0)

ώς το σημείο $\displaystyle A\left(\frac{\pi}{2},0,\pi\right)$ κατά μήκος του τμήματος ΟΑ

2) Να επαληθεύσετε τον τύπο του Green για το διανυσματικό πεδίο F(x,y)=(-x, xy^3)

και τον κυκλικό δίσκο $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq 1\}$

3) Να επαληθεύσετε τον τύπο του Gauss για το διανυσματικό πεδίο F(x,y,z)=(2x,y^2,z^2)

στη μοναδιαία μπάλα $V=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\leq1\}$

4) Να επαληθεύσετε τον τύπο του Stokes για το διανυσματικό πεδίο F(x,y,z)=(x-z, x^3+yz, -3xy^2)

στην επιφάνεια S του κώνου $z=2-\sqrt{x^2+y^2},$ η οποία είναι άνω του

επιπέδου και είναι προσανατολισμένη προς το εξωτερικό μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα $\hat{\eta}$ αυτής

5) Να υπολογίσετε με την βοήθεια κατάλληλου διπλού ολοκληρώματος, την κυκλοφορία $\displaystyle\int_{C}F\cdot dr$ του διανυσματικού πεδίου F(x,y)=(xy^2,-x^2y)

κατά μήκος της καμπύλης C, η οποία είναι το σύνορο του χωρίου $D=\{(x,y)|x\geq0, 0\leq y\leq 1-x^2\}$ και είναι θετικά προσανατολισμένη ως προς το εσωτερικό του D (αντιωρολογιακά)

#2

Καλώς ήλθες στο mathematica.

Ας τονίσω ότι το φόρουμ με πολλή χαρά βοηθά οποιονδήποτε έχει μία απορία στα Μαθηματικά. Από την άλλη, ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΛΥΣΑΡΙ κανενός.

Με απλά λόγια, έχουμε σοβαρή αντίρρηση να λύνουμε ασκήσεις στο σπίτι, τις οποίες έθεσε κάποιος διδάσκων για να εξασκήσει τους φοιτητές του.

Όλες οι ασκήσεις που δίνεις είναι απλή εφαρμογή της θεωρίας.
Δείξε μας την δουλειά σου, δείξε μας μέχρι που τις προχώρησες, και με χαρά θα σου δώσουμε υπόδειξη για το παρακάτω.

Περιττό να προσθέσω ότι η πρακτική να παίρνεις έτοιμες λύσεις, ΕΙΝΑΙ ΚΑΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ στον εαυτό σου. Πρέπει να μάθεις να αντιμετωπίζεις μόνος/μόνη ασκήσεις Μαθηματικών, ιδίως ασκήσεις εμπέδωσης.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#3

DinaG έγραψε:1) Θεωρούμε τη δύναμη
α) Να αποδείξετε ότι είναι συντηρητική

Θεωρούμε την βαθμωτή συνάρτηση $\displaystyle{R\left( {x,y,z} \right) = y\sin x + x\cos z}$ . Τότε παρατηρούμε ότι $\displaystyle{f\left( {x,y,x} \right) = \left( {\frac{{\partial R}}{{\partial x}},\frac{{\partial R}}{{\partial y}},\frac{{\partial R}}{{\partial z}}} \right)}$ , επομένως η δύναμη $\displaystyle{f\left( {x,y,x} \right)}$ είναι η βαθμίδα της βαθμωτής συνάρτησης $\displaystyle{R\left( {x,y,z} \right)}$ , δηλαδή έχει μηδενικό στροβιλισμό. Επομένως είναι συντηρητική.

Edit: Βιάστηκα, δεν είδα την παρότρυνση του Μιχάλη. Ας μείνει αυτό μόνο .. σαν αρχή.

Δυσκολίες σε ασκήσεις απειροστικού 3

Δυσκολίες σε ασκήσεις απειροστικού 3

Re: Δυσκολίες σε ασκήσεις απειροστικού 3

Re: Δυσκολίες σε ασκήσεις απειροστικού 3

Μέλη σε σύνδεση