ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Έξι ομοκυκλικά σημεία.

#1

7ι(167). Οι πλευρές του μεσοτρίγωνου του ορθικού τριγώνου κάθε τριγώνου, τέμνουν τις πλευρές του τριγώνου αναφοράς, σε τρία ζεύγη ομοκυκλικών σημείων.

Δηλαδή, θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ, ΔΕΖ το ορθικό του τρίγωνο (Δ $\in$ ΒΓ, Ε $\in$ ΓΑ, Ζ $\in$ ΑΒ), ΘΙΛ το μεσοτρίγωνο του τριγώνου ΔΕΖ (Θ $\in$ ΕΖ, Ι $\in$ ΖΔ, Λ $\in$ ΔΕ) και τα τρία ζεύγη των τομών ΛΙ∩ΑΒ≡Ρ- ΛΙ∩ΑΓ≡Ξ, ΛΘ∩ΒΓ≡Ν- ΛΘ∩ΑΒ≡Π, ΙΘ∩ΓΑ≡Ο- ΙΘ∩ΒΓ≡Μ. Να δειχθεί ότι τα σημεία Μ, Ν, Ξ, Ο, Π, Ρ, ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

GVlachos · #2

Θα δείξουμε ότι το $\Pi RMN$ είναι εγγράψιμο. Όμοια αποδεικνύεται ότι τα ΜΝΞΟ,ΞΟΠΡ είναι εγγράψιμα, οπότε αν δεν έιναι και τα έξι σημεία ομοκυκλικά, θα έχουμε τρεις κύκλους με ριζικούς άξονες τις ευθείες AB,BC,CA

, άρα πρέπει να διέρχονται από το ριζικό κέντρο των κύκλων, που δεν ισχύει αφού είναι πλευρές τριγώνου. Μένει λοιπόν να δειχθεί ότι τα $\Pi,R,M,N$ είναι ομοκυκλικά.
$\angle$ ${\Pi NB}=\angle ZDB=\angle A$ . Αρκεί λοιπόν $\angle \Pi PM=\angle ZPM=180-\angle A$ .
$\angle ZRI=\angle AZE=\angle C=\angle RZI$ , άρα $IR=IZ=\frac{ZD}{2}$
Όμοια βρίσκουμε $IM=ID=\frac{ZD}{2}$ και το τρίγωνο $\triangle IRM$ είναι ισοσκελές.
$\angle PIM=\angle ILD=\angle ZED=180-2\ANGLE B$ αφού PI//ZE,MI//DE

.
Στο ισοσκελές τρίγωνο PIM

έχουμε $MPI=\frac {180-\angle PIM}{2}=\angle B$ και $\angle MP\Pi=\angle B+ \angle C=180-\angle A=180-\angle {\Pi NM}$ και το $\Pi RMN$ είναι εγγράψιμο.

#3

GVlachos έγραψε:Θα δείξουμε ότι το $\Pi RMN$ είναι εγγράψιμο. Όμοια αποδεικνύεται ότι τα ΜΝΞΟ,ΞΟΠΡ είναι εγγράψιμα, οπότε αν δεν έιναι και τα έξι σημεία ομοκυκλικά, θα έχουμε τρεις κύκλους με ριζικούς άξονες τις ευθείες , άρα πρέπει να διέρχονται από το ριζικό κέντρο των κύκλων, που δεν ισχύει αφού είναι πλευρές τριγώνου. Μένει λοιπόν να δειχθεί ότι τα $\Pi,R,M,N$ είναι ομοκυκλικά.
$\angle$ ${\Pi NB}=\angle ZDB=\angle A$ . Αρκεί λοιπόν $\angle \Pi PM=\angle ZPM=180-\angle A$ .
$\angle ZRI=\angle AZE=\angle C=\angle RZI$ , άρα $IR=IZ=\frac{ZD}{2}$
Όμοια βρίσκουμε $IM=ID=\frac{ZD}{2}$ και το τρίγωνο $\triangle IRM$ είναι ισοσκελές.
$\angle PIM=\angle ILD=\angle ZED=180-2\ANGLE B$ αφού .
Στο ισοσκελές τρίγωνο έχουμε $MPI=\frac {180-\angle PIM}{2}=\angle B$ και $\angle MP\Pi=\angle B+ \angle C=180-\angle A=180-\angle {\Pi NM}$ και το $\Pi RMN$ είναι εγγράψιμο.

Φίλε GVlachos,
σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σου και την απόδειξή σου.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#4

ΝΙΚΟΣ έγραψε:7ι(167). Οι πλευρές του μεσοτρίγωνου του ορθικού τριγώνου κάθε τριγώνου, τέμνουν τις πλευρές του τριγώνου αναφοράς, σε τρία ζεύγη ομοκυκλικών σημείων.

Δηλαδή, θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ, ΔΕΖ το ορθικό του τρίγωνο (Δ $\in$ ΒΓ, Ε $\in$ ΓΑ, Ζ $\in$ ΑΒ), ΘΙΛ το μεσοτρίγωνο του τριγώνου ΔΕΖ (Θ $\in$ ΕΖ, Ι $\in$ ΖΔ, Λ $\in$ ΔΕ) και τα τρία ζεύγη των τομών ΛΙ∩ΑΒ≡Ρ- ΛΙ∩ΑΓ≡Ξ, ΛΘ∩ΒΓ≡Ν- ΛΘ∩ΑΒ≡Π, ΙΘ∩ΓΑ≡Ο- ΙΘ∩ΒΓ≡Μ. Να δειχθεί ότι τα σημεία Μ, Ν, Ξ, Ο, Π, Ρ, ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι, Φίλε GVlachos,
για την παραπάνω Πρότασή μου 7ι(167), ζητούμε συμπληρωματικά να αποδειχθεί ότι ο κύκλος ΜΝΞΟΠΡ είναι ένας κύκλος Tucker, για το τρίγωνο αναφοράς (Επίπεδος Γεωμετρία Χ. Ταβανλή § 403, σελίδα 269).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#5

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:7ι(167). Οι πλευρές του μεσοτρίγωνου του ορθικού τριγώνου κάθε τριγώνου, τέμνουν τις πλευρές του τριγώνου αναφοράς, σε τρία ζεύγη ομοκυκλικών σημείων.

Δηλαδή, θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ, ΔΕΖ το ορθικό του τρίγωνο (Δ $\in$ ΒΓ, Ε $\in$ ΓΑ, Ζ $\in$ ΑΒ), ΘΙΛ το μεσοτρίγωνο του τριγώνου ΔΕΖ (Θ $\in$ ΕΖ, Ι $\in$ ΖΔ, Λ $\in$ ΔΕ) και τα τρία ζεύγη των τομών ΛΙ∩ΑΒ≡Ρ- ΛΙ∩ΑΓ≡Ξ, ΛΘ∩ΒΓ≡Ν- ΛΘ∩ΑΒ≡Π, ΙΘ∩ΓΑ≡Ο- ΙΘ∩ΒΓ≡Μ. Να δειχθεί ότι τα σημεία Μ, Ν, Ξ, Ο, Π, Ρ, ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι, Φίλε GVlachos,
για την παραπάνω Πρότασή μου 7ι(167), ζητούμε συμπληρωματικά να αποδειχθεί ότι ο κύκλος ΜΝΞΟΠΡ είναι ένας κύκλος Tucker, για το τρίγωνο αναφοράς (Επίπεδος Γεωμετρία Χ. Ταβανλή § 403, σελίδα 269).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 88, δίνουμε μία ακόμη απόδειξη της Πρότασης 7ι(167), η οποία δίνει συνάμα και την απάντηση (απόδειξη), του παραπάνω συμπληρωματικού ζητούμενου της Πρότασης αυτής, καθώς μέχρι τώρα δεν δόθηκε σχετική απάντηση (απόδειξη) από κάποιο φίλο.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#6

Αγαπητοί φίλοι,
με το συνημμένο μου 88, έδωσα μία ακόμη απόδειξη της Πρότασης μου 7ι(167), η οποία δίνει ταυτόχρονα και την απάντηση (απόδειξη), του πρώτου μου συμπληρωματικού ζητούμενου της Πρότασης αυτής, στο οποίο ζητούσαμε να δειχθεί ότι ο κύκλος ΜΝΞΟΠΡ, είναι ένας κύκλος Tucker.
Στο ίδιο συνημμένο μου, σε σχόλιό μου, επεσήμανα ότι ο κύκλος αυτός είναι ένας σταθερός κύκλος Tucker και άρα απομένει να μάθουμε, αν ο κύκλος αυτός είναι γνωστός μας, ή πρόκειται για έναν νέο κύκλο του τριγώνου αναφοράς.
Προτείνω λοιπόν στους ενδιαφερόμενους φίλους να ασχοληθούν και να μας δώσουν τη δική τους απάντηση μέχρι 8-6-2011, στο δεύτερου αυτό συμπληρωματικό μου ζητούμενο, αν δηλαδή ο κύκλος αυτός είναι γνωστός μας ή όχι, και αν ναι, ποίος είναι και γιατί; (απόδειξη του ερωτήματος τούτου).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#7

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
με το συνημμένο μου 88, έδωσα μία ακόμη απόδειξη της Πρότασης μου 7ι(167), η οποία δίνει ταυτόχρονα και την απάντηση (απόδειξη), του πρώτου μου συμπληρωματικού ζητούμενου της Πρότασης αυτής, στο οποίο ζητούσαμε να δειχθεί ότι ο κύκλος ΜΝΞΟΠΡ, είναι ένας κύκλος Tucker.
Στο ίδιο συνημμένο μου, σε σχόλιό μου, επεσήμανα ότι ο κύκλος αυτός είναι ένας σταθερός κύκλος Tucker και άρα απομένει να μάθουμε, αν ο κύκλος αυτός είναι γνωστός μας, ή πρόκειται για έναν νέο κύκλο του τριγώνου αναφοράς.
Προτείνω λοιπόν στους ενδιαφερόμενους φίλους να ασχοληθούν και να μας δώσουν τη δική τους απάντηση μέχρι 8-6-2011, στο δεύτερου αυτό συμπληρωματικό μου ζητούμενο, αν δηλαδή ο κύκλος αυτός είναι γνωστός μας ή όχι, και αν ναι, ποίος είναι και γιατί; (απόδειξη του ερωτήματος τούτου).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
μετά και την παρέλευση της ημερομηνίας που είχα θέσει (8-6-2011), δίνω παρακάτω τη δική μου απάντηση (απόδειξη), στο δεύτερο συμπληρωματικό μου ζητούμενο της Πρότασης 7ι(167).
Πραγματικά λοιπόν ο κύκλος ΜΝΞΟΠΡ [Σχήμα 10α του παρακάτω συνημμένου μου 89], είναι ο γνωστός μας κύκλος Teylor, για το τρίγωνο ΑΒΓ, καθώς, όπως στο συνημμένο μου 88 απεδείχθη είναι πχ ΘΟ=ΘΠ=ΘΕ=ΘΖ, οπότε ο κύκλος δια μέτρου ΕΖ, περνά και από τα Ο, Π και άρα οι γωνίες ΕΠΖ και ΖΟΕ είναι ορθές ή ότι οι ΕΠ και ΖΟ είναι κάθετες στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.
Όμοια βρίσκουμε και ότι οι ΔΡ, ΜΖ, ΞΔ, ΕΝ είναι κάθετες στις ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, ΒΓ αντίστοιχα, οπότε τα σημεία Μ, Ν, Ξ, Ο, Π, Ρ ανήκουν στο γνωστό μας κύκλο Teylor του τριγώνου ΑΒΓ [Θεώρημα 402 (σελίδα 268), της Επίπεδου Γεωμετρίας του Χ. Ταβανλή].

Παρατηρήσεις.
(α).Μετά την Πρόταση 7ι(167) και τα πρώτο και δεύτερο συμπληρωματικά ζητούμενα αυτής προκύπτει ότι για τον καθορισμό των σημείων Μ, Ν, Ξ, Ο, Π, Ρ του κύκλου Teylor τριγώνου ΑΒΓ, υπάρχει και δεύτερος τρόπος, πιο απλός, που απορρέει από όσα είπαμε εδώ. Συγκεκριμένα, στο δοσμένο τρίγωνο ΑΒΓ γράφουμε το μεσοτρίγωνο ΘΙΛ του ορθικού του τριγώνου ΔΕΖ. Οι τομές των πλευρών του τριγώνου ΘΙΛ τέμνουν τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ στα σημεία Μ, Ν, Ξ, Ο, Π, Ρ, που είναι και τα ζητούμενα σημεία.
(β). Η Πρόταση 7ι(167), με τα δύο συμπληρώματά της, έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» στην παράγραφο 7ι(167) (τόμος 7) και πιστεύω ότι πρόκειται για πρωτοεμφανιζόμενη εδώ Πρόταση.
(γ). Επειδή και ο κύκλος Teylor, ως γνωστό, είναι ειδικός κύκλος Tucker, αληθεύουν προφανώς για το εξάγωνο ΜΝΞΟΠΡ, η πρώτη από τις παραπάνω επεκτάσεις, αλλά και τις επεκτάσεις που ΕΔΩ έχουμε αναφέρει. Πιο συγκεκριμένα. Οι διάμεσες των τριών εξαγώνων ΜΝΞΟΠΡ, ΠΝΞΡΜΟ, ΠΝΜΟΞΡ, συντρέχουν κατά εξάγωνο, κτλ.
(δ). Στις παραγράφους 8ι(186) μέχρι 8ι(188)(τόμος 8), 10ι(168)(τόμος 10), κτλ, του παραπάνω βιβλίου μου, δίνουμε και άλλες ειδικές ενδιαφέρουσες περιπτώσεις κύκλου Tucker.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#8

Κατασκευή Ειδικού (σταθερού) Πρωτοεμφανιζόμενου Κύκλου Tucker.

10ι(168). Σε δοσμένο τρίγωνο, να κατασκευασθεί ειδικός (σταθερός) κύκλος Tucker, τέτοιος ώστε, οι τρείς χορδές των ίσων τόξων που αποκόπτονται μεταξύ των ζευγών πλευρών του τριγώνου, να είναι ίσες με την ακτίνα του παραπάνω κύκλου Tucker.

Δηλαδή, αν (T,R) είναι ο ζητούμενος κύκλος Tucker τριγώνου ΑΒΓ και $Z_{1}$ - $A_{1}$ , $B_{1}$ - $\Gamma _{1}$ , $\Delta _{1}$ - $E_{1}$ , είναι τα ζεύγη των σημείων στα οποία αυτός τέμνει τις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα, τότε πρέπει να είναι $A_{1}$ $B_{1}$ = $\Gamma _{1}$ $\Delta _{1}$ = $E_{1}$ $Z_{1}$ =R [Υπενθυμίζουμε ότι σύμφωνα με τον σχετικό ορισμό, τα τμήματα $A_{1}$ $B_{1}$ , $\Gamma _{1}$ $\Delta _{1}$ , $E_{1}$ $Z_{1}$ , εκτός από ίσα, πρέπει να είναι και αντιπαράλληλα με τις ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, αντίστοιχα (παράγραφος 403, σελίδα 269), της Επιπέδου Γεωμετρίας του Χ. Ταβανλή].

Σχόλια.
(α).Εύκολα διαπιστώνουμε ότι ο παραπάνω κύκλος, είναι ένας ακόμη κύκλος Tucker σταθερός (μοναδικός) για το τρίγωνο που ανήκει, ενώ είναι και σημαντικός, καθώς πρωτοεμφανίζεται εδώ, έχει πολλές ωραίες και κομψές ιδιότητες, όπως στη συνέχεια θα επιδιώξουμε να δούμε. Γι’ αυτό προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις, μέχρι την 17-6-2011.
(β). Η παραπάνω κατασκευή έχει καταχωρηθεί στην παράγραφο 10ι(168) (τόμος 10) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», ενώ αποτελεί ειδική περίπτωση της κατασκευής 8ι(157) (τόμος 8) του παραπάνω βιβλίου μου.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#9

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Κατασκευή Ειδικού (σταθερού) Πρωτοεμφανιζόμενου Κύκλου Tucker.

10ι(168). Σε δοσμένο τρίγωνο, να κατασκευασθεί ειδικός (σταθερός) κύκλος Tucker, τέτοιος ώστε, οι τρείς χορδές των ίσων τόξων που αποκόπτονται μεταξύ των ζευγών πλευρών του τριγώνου, να είναι ίσες με την ακτίνα του παραπάνω κύκλου Tucker.

Δηλαδή, αν (T,R) είναι ο ζητούμενος κύκλος Tucker τριγώνου ΑΒΓ και $Z_{1}$ - $A_{1}$ , $B_{1}$ - $\Gamma _{1}$ , $\Delta _{1}$ - $E_{1}$ , είναι τα ζεύγη των σημείων στα οποία αυτός τέμνει τις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα, τότε πρέπει να είναι $A_{1}$ $B_{1}$ = $\Gamma _{1}$ $\Delta _{1}$ = $E_{1}$ $Z_{1}$ =R [Υπενθυμίζουμε ότι σύμφωνα με τον σχετικό ορισμό, τα τμήματα $A_{1}$ $B_{1}$ , $\Gamma _{1}$ $\Delta _{1}$ , $E_{1}$ $Z_{1}$ , εκτός από ίσα, πρέπει να είναι και αντιπαράλληλα με τις ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, αντίστοιχα (παράγραφος 403, σελίδα 269), της Επιπέδου Γεωμετρίας του Χ. Ταβανλή].

Σχόλια.
(α).Εύκολα διαπιστώνουμε ότι ο παραπάνω κύκλος, είναι ένας ακόμη κύκλος Tucker σταθερός (μοναδικός) για το τρίγωνο που ανήκει, ενώ είναι και σημαντικός, καθώς πρωτοεμφανίζεται εδώ, έχει πολλές ωραίες και κομψές ιδιότητες, όπως στη συνέχεια θα επιδιώξουμε να δούμε. Γι’ αυτό προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις, μέχρι την 17-6-2011.
(β). Η παραπάνω κατασκευή έχει καταχωρηθεί στην παράγραφο 10ι(168) (τόμος 10) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», ενώ αποτελεί ειδική περίπτωση της κατασκευής 8ι(157) (τόμος 8) του παραπάνω βιβλίου μου.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
μετά και την παρέλευση της ημερομηνίας που είχα θέσει (17-6-2011), δίνω με το παρακάτω συνημμένο μου 90 τη δική μου αναλυτική διαπραγμάτευση, της ζητούμενης παραπάνω κατασκευής 10ι(168) (τόμος 10) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
Ο παραπάνω ειδικός κύκλος (T,R) Tucker κάθε τριγώνου ΑΒΓ και συγκεκριμένα το ειδικό εξάγωνο Α $_{1}$ Β1Γ1Δ1Ε1Ζ1, έχει πολλές και σημαντικές ιδιότητες, στις οποίες θα αναφερθούμε σε άλλη ανάρτηση μας.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#10

Μερικές Πρωτοεμφανιζόμενες ιδιότητες Ειδικού κύκλου Tucker.

Αγαπητοί φίλοι,
με την παρακάτω Πρότασή μου 8ι(186), δίνω μερικές από τις ιδιότητες του ειδικού εγγεγραμμένου σε τρίγωνο και σε ειδικό κύκλο Tucker, εξάγωνου, όπως έχω υποσχεθεί.
Παρακαλώ τους ενδιαφερόμενους φίλους να ασχοληθούν με την Πρόταση αυτή και να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις, μέχρι την 30-6-2011.

Πρόταση 8ι(186).
Σε τρίγωνο Α'Β'Γ' έχει τοποθετηθεί ειδικός (σταθερός) κύκλος (T,R) Tucker, ο οποίος τέμνει τις πλευρές Α'Β', Β'Γ', Γ'Α', στα ζεύγη των σημείων Α-Β, Γ-Δ, Ε-Ζ, αντίστοιχα και έτσι ώστε να είναι: ΒΓ=ΔΕ=ΖΑ= R.
Ονομάζουμε Η, Θ, Ι, Λ, Μ, Ν, τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ, αντίστοιχα και Η', Ι', Μ' τα μέσα των διαγώνιων ΓΖ, ΒΕ, ΑΔ, αντίστοιχα του εξάγωνου ΑΒΓΔΕΖ. Να δειχθεί ότι:
(α). Τα μέσα των άνισων πλευρών, αλλά και των διαγώνιων(κυρίων) του εξάγωνου αυτού, είναι κορυφές δύο ισόπλευρων τριγώνων (Δηλαδή τα τρίγωνα ΗΙΜ, Η'Ι'Μ', είναι ισόπλευρα) και έχουν κέντρο.
(β).Οι διάμεσες του καθενός από τα τρία εξάγωνα ΑΒΓΔΕΖ, ΑΔΕΒΓΖ, ΑΔΓΖΕΒ, συντρέχουν [Δηλαδή είναι: ΗΛ∩ΘΜ∩ΙΝ≡Κ, ΛΗ'∩ΘΜ'∩ΝΙ'≡Κ', ΗΗ'∩ΙΙ'∩ΜΜ'≡Τ, (ή τα ισόπλευρα τρίγωνα ΗΙΜ, Η'Ι'Μ' είναι και ομολογικά)].

Σχόλια.
(α). Και άλλες ιδιότητες του παραπάνω ειδικού εξάγωνου ΑΒΓΔΕΖ, θα αναρτήσω με άλλη Πρότασή μου αργότερα.
(β). Είναι προφανές ότι το ειδικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ, έχει και όλες τις ιδιότητες, ενός εγγεγραμμένου εξάγωνου σε κύκλο Tucker, που απορρέουν από το Θεώρημα Tucker (Παράγραφος 403, της Επίπεδης Γεωμετρίας Χ. Ταβανλή),
(γ). Την παραπάνω Πρότασή μου, έχω καταχωρήσει στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» στην παράγραφο 8ι(186) (τόμος 8), ενώ την έχω στείλει στα πλαίσια εργασίας μου, στο περιοδικό ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ για δημοσίευση , με την από 8-12-2004 επιστολή μου, την οποία έχω κοινοποιήσει και στο φίλο Κώστα Βήττα, την ίδια ημέρα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#11

Μερικές ακόμη Πρωτοεμφανιζόμενες ιδιότητες Ειδικού κύκλου Tucker.

Αγαπητοί φίλοι,
με την παρακάτω Πρότασή μου 10ι(175), δίνω μερικές ακόμη από τις ιδιότητες του ειδικού εγγεγραμμένου σε τρίγωνο και σε ειδικό κύκλο Tucker, εξάγωνου, όπως έχω υποσχεθεί.
Παρακαλώ τους ενδιαφερόμενους φίλους να ασχοληθούν με την Πρόταση αυτή και να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις, μέχρι την 3-7-2011.

Πρόταση 10ι(175).
Σε τρίγωνο Α'Γ'Ε' έχει τοποθετηθεί ειδικός (σταθερός) κύκλος (T,R) Tucker, ο οποίος τέμνει τις πλευρές Α'Γ', Γ'Ε', Ε'Α', στα ζεύγη των σημείων Α-Β, Γ-Δ, Ε-Ζ, αντίστοιχα και έτσι ώστε να είναι: ΒΓ=ΔΕ=ΖΑ= R.
Αν ΑΖ∩ΒΓ≡Β', ΒΓ∩ΔΕ≡Δ', ΔΕ∩ΑΖ≡Ζ', ΑΔ∩ΓΖ≡α', ΒΕ∩ΓΖ≡γ', ΒΕ∩ΑΔ≡ε', ΑΕ'∩ΖΓ'≡α, Α'Γ∩Γ'Ζ≡β, ΒΕ'∩ΓΑ'≡γ, Γ'Ε∩Ε'Β≡δ, Α'Δ∩Γ'Ε≡ε, Α'Δ∩Ε'Α≡ζ, να αποδειχθεί ότι: Α'Δ'∩Γ'Ζ'∩Ε'Β'≡Α'α'∩Γ'γ'∩Ε'ε'≡Δ'α'∩Ζ'γ'∩Β'ε'≡L,ή ότι οι Α'Lα'Δ', Γ'Lγ'Ζ', Ε'Lε'Β', είναι ευθείες, Α'α∩Γ'γ∩Ε'ε'≡Κ, Α'δ∩Γ'ζ∩Ε'β≡Κ', αδ∩βε∩γζ≡Ο, ότι η ΚΟΚ' είναι ευθεία.

Σχόλια.
(α). Ο κύκλος (T,R), από τον τρόπο κατασκευής του [κατασκευή 10ι(168)], είναι ειδικός (σταθερός), για το τρίγωνο Α'Γ'Ε', οπότε και το εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ είναι σταθερό, άρα και τα σημεία (κέντρα) Κ, L, K', Ο είναι σταθερά για το ίδιο τρίγωνο.
(β). Είναι προφανές ότι το ειδικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ, έχει και όλες τις ιδιότητες, ενός εγγεγραμμένου εξάγωνου σε κύκλο Tucker, που απορρέουν από το Θεώρημα Tucker (Παράγραφος 403, της Επίπεδης Γεωμετρίας Χ. Ταβανλή),
(γ). Την παραπάνω Πρότασή μου, έχω καταχωρήσει στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» στην παράγραφο 10ι(175) (τόμος 10).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#12

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Μερικές Πρωτοεμφανιζόμενες ιδιότητες Ειδικού κύκλου Tucker.

Αγαπητοί φίλοι,
με την παρακάτω Πρότασή μου 8ι(186), δίνω μερικές από τις ιδιότητες του ειδικού εγγεγραμμένου σε τρίγωνο και σε ειδικό κύκλο Tucker, εξάγωνου, όπως έχω υποσχεθεί.
Παρακαλώ τους ενδιαφερόμενους φίλους να ασχοληθούν με την Πρόταση αυτή και να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις, μέχρι την 30-6-2011.

Πρόταση 8ι(186).
Σε τρίγωνο Α'Β'Γ' έχει τοποθετηθεί ειδικός (σταθερός) κύκλος (T,R) Tucker, ο οποίος τέμνει τις πλευρές Α'Β', Β'Γ', Γ'Α', στα ζεύγη των σημείων Α-Β, Γ-Δ, Ε-Ζ, αντίστοιχα και έτσι ώστε να είναι: ΒΓ=ΔΕ=ΖΑ= R.
Ονομάζουμε Η, Θ, Ι, Λ, Μ, Ν, τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ, αντίστοιχα και Η', Ι', Μ' τα μέσα των διαγώνιων ΓΖ, ΒΕ, ΑΔ, αντίστοιχα του εξάγωνου ΑΒΓΔΕΖ. Να δειχθεί ότι:
(α). Τα μέσα των άνισων πλευρών, αλλά και των διαγώνιων(κυρίων) του εξάγωνου αυτού, είναι κορυφές δύο ισόπλευρων τριγώνων (Δηλαδή τα τρίγωνα ΗΙΜ, Η'Ι'Μ', είναι ισόπλευρα) και έχουν κέντρο.
(β).Οι διάμεσες του καθενός από τα τρία εξάγωνα ΑΒΓΔΕΖ, ΑΔΕΒΓΖ, ΑΔΓΖΕΒ, συντρέχουν [Δηλαδή είναι: ΗΛ∩ΘΜ∩ΙΝ≡Κ, ΛΗ'∩ΘΜ'∩ΝΙ'≡Κ', ΗΗ'∩ΙΙ'∩ΜΜ'≡Τ, (ή τα ισόπλευρα τρίγωνα ΗΙΜ, Η'Ι'Μ' είναι και ομολογικά)].

Σχόλια.
(α). Και άλλες ιδιότητες του παραπάνω ειδικού εξάγωνου ΑΒΓΔΕΖ, θα αναρτήσω με άλλη Πρότασή μου αργότερα.
(β). Είναι προφανές ότι το ειδικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ, έχει και όλες τις ιδιότητες, ενός εγγεγραμμένου εξάγωνου σε κύκλο Tucker, που απορρέουν από το Θεώρημα Tucker (Παράγραφος 403, της Επίπεδης Γεωμετρίας Χ. Ταβανλή),
(γ). Την παραπάνω Πρότασή μου, έχω καταχωρήσει στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» στην παράγραφο 8ι(186) (τόμος 8), ενώ την έχω στείλει στα πλαίσια εργασίας μου, στο περιοδικό ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ για δημοσίευση , με την από 8-12-2004 επιστολή μου, την οποία έχω κοινοποιήσει και στο φίλο Κώστα Βήττα, την ίδια ημέρα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
μετά και την παρέλευση της ημερομηνίας που είχα θέσει (30-6-2011), δίνω με το παρακάτω συνημμένο μου 91 τη δική μου διαπραγμάτευση, της παραπάνω πρωτοεμφανιζόμενης Πρότασής μου 8ι(186) (τόμος 8) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», αφού μέχρι τώρα δεν δόθηκε απόδειξη από κάποιο φίλο.
Ο κύκλος (T,R), από τον τρόπο κατασκευής του [κατασκευή 10ι(168)], είναι ειδικός (σταθερός), για το τρίγωνο Α'Γ'Ε', οπότε και το εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ είναι σταθερό, άρα και τα σημεία (κέντρα) Κ, Τ, K', είναι σταθερά για το ίδιο τρίγωνο, όπως και το κοινό κέντρο Ο,των τριγώνων ΗΙΜ, Η'Ι'Μ'.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#13

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Μερικές ακόμη Πρωτοεμφανιζόμενες ιδιότητες Ειδικού κύκλου Tucker.

Αγαπητοί φίλοι,
με την παρακάτω Πρότασή μου 10ι(175), δίνω μερικές ακόμη από τις ιδιότητες του ειδικού εγγεγραμμένου σε τρίγωνο και σε ειδικό κύκλο Tucker, εξάγωνου, όπως έχω υποσχεθεί.
Παρακαλώ τους ενδιαφερόμενους φίλους να ασχοληθούν με την Πρόταση αυτή και να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις, μέχρι την 3-7-2011.

Πρόταση 10ι(175).
Σε τρίγωνο Α'Γ'Ε' έχει τοποθετηθεί ειδικός (σταθερός) κύκλος (T,R) Tucker, ο οποίος τέμνει τις πλευρές Α'Γ', Γ'Ε', Ε'Α', στα ζεύγη των σημείων Α-Β, Γ-Δ, Ε-Ζ, αντίστοιχα και έτσι ώστε να είναι: ΒΓ=ΔΕ=ΖΑ= R.
Αν ΑΖ∩ΒΓ≡Β', ΒΓ∩ΔΕ≡Δ', ΔΕ∩ΑΖ≡Ζ', ΑΔ∩ΓΖ≡α', ΒΕ∩ΓΖ≡γ', ΒΕ∩ΑΔ≡ε', ΑΕ'∩ΖΓ'≡α, Α'Γ∩Γ'Ζ≡β, ΒΕ'∩ΓΑ'≡γ, Γ'Ε∩Ε'Β≡δ, Α'Δ∩Γ'Ε≡ε, Α'Δ∩Ε'Α≡ζ, να αποδειχθεί ότι: Α'Δ'∩Γ'Ζ'∩Ε'Β'≡Α'α'∩Γ'γ'∩Ε'ε'≡Δ'α'∩Ζ'γ'∩Β'ε'≡L,ή ότι οι Α'Lα'Δ', Γ'Lγ'Ζ', Ε'Lε'Β', είναι ευθείες, Α'α∩Γ'γ∩Ε'ε'≡Κ, Α'δ∩Γ'ζ∩Ε'β≡Κ', αδ∩βε∩γζ≡Ο, ότι η ΚΟΚ' είναι ευθεία.

Σχόλια.
(α). Ο κύκλος (T,R), από τον τρόπο κατασκευής του [κατασκευή 10ι(168)], είναι ειδικός (σταθερός), για το τρίγωνο Α'Γ'Ε', οπότε και το εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ είναι σταθερό, άρα και τα σημεία (κέντρα) Κ, L, K', Ο είναι σταθερά για το ίδιο τρίγωνο.
(β). Είναι προφανές ότι το ειδικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ, έχει και όλες τις ιδιότητες, ενός εγγεγραμμένου εξάγωνου σε κύκλο Tucker, που απορρέουν από το Θεώρημα Tucker (Παράγραφος 403, της Επίπεδης Γεωμετρίας Χ. Ταβανλή),
(γ). Την παραπάνω Πρότασή μου, έχω καταχωρήσει στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» στην παράγραφο 10ι(175) (τόμος 10).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
μετά και την παρέλευση της ημερομηνίας που είχα θέσει (3-7-2011), δίνω με το παρακάτω συνημμένο μου 92 τη δική μου διαπραγμάτευση της παραπάνω πρωτοεμφανιζόμενης Πρότασής μου 10ι(175) (τόμος 10) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», αφού μέχρι τώρα δεν δόθηκε απόδειξη από κάποιο φίλο.
Ο κύκλος (T,R), από τον τρόπο κατασκευής του [κατασκευή 10ι(168)], είναι ειδικός (σταθερός), για το τρίγωνο Α'Γ'Ε', οπότε και το εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ είναι σταθερό, άρα και τα σημεία (κέντρα) Κ, Ο, K', είναι σταθερά για το ίδιο τρίγωνο.

Αγαπητοί φίλοι,
στη θέση αυτή εδώ δεν είχα στόχο να παρουσιάσω απλώς τα θέματα που ανάρτησα, αλλά άλλος, στον οποίο θα αναφερθώ αργότερα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

#14

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Μερικές ακόμη Πρωτοεμφανιζόμενες ιδιότητες Ειδικού κύκλου Tucker.

Αγαπητοί φίλοι,
με την παρακάτω Πρότασή μου 10ι(175), δίνω μερικές ακόμη από τις ιδιότητες του ειδικού εγγεγραμμένου σε τρίγωνο και σε ειδικό κύκλο Tucker, εξάγωνου, όπως έχω υποσχεθεί.
Παρακαλώ τους ενδιαφερόμενους φίλους να ασχοληθούν με την Πρόταση αυτή και να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις, μέχρι την 3-7-2011.

Πρόταση 10ι(175).
Σε τρίγωνο Α'Γ'Ε' έχει τοποθετηθεί ειδικός (σταθερός) κύκλος (T,R) Tucker, ο οποίος τέμνει τις πλευρές Α'Γ', Γ'Ε', Ε'Α', στα ζεύγη των σημείων Α-Β, Γ-Δ, Ε-Ζ, αντίστοιχα και έτσι ώστε να είναι: ΒΓ=ΔΕ=ΖΑ= R.
Αν ΑΖ∩ΒΓ≡Β', ΒΓ∩ΔΕ≡Δ', ΔΕ∩ΑΖ≡Ζ', ΑΔ∩ΓΖ≡α', ΒΕ∩ΓΖ≡γ', ΒΕ∩ΑΔ≡ε', ΑΕ'∩ΖΓ'≡α, Α'Γ∩Γ'Ζ≡β, ΒΕ'∩ΓΑ'≡γ, Γ'Ε∩Ε'Β≡δ, Α'Δ∩Γ'Ε≡ε, Α'Δ∩Ε'Α≡ζ, να αποδειχθεί ότι: Α'Δ'∩Γ'Ζ'∩Ε'Β'≡Α'α'∩Γ'γ'∩Ε'ε'≡Δ'α'∩Ζ'γ'∩Β'ε'≡L,ή ότι οι Α'Lα'Δ', Γ'Lγ'Ζ', Ε'Lε'Β', είναι ευθείες, Α'α∩Γ'γ∩Ε'ε'≡Κ, Α'δ∩Γ'ζ∩Ε'β≡Κ', αδ∩βε∩γζ≡Ο, ότι η ΚΟΚ' είναι ευθεία.

Σχόλια.
(α). Ο κύκλος (T,R), από τον τρόπο κατασκευής του [κατασκευή 10ι(168)], είναι ειδικός (σταθερός), για το τρίγωνο Α'Γ'Ε', οπότε και το εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ είναι σταθερό, άρα και τα σημεία (κέντρα) Κ, L, K', Ο είναι σταθερά για το ίδιο τρίγωνο.
(β). Είναι προφανές ότι το ειδικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ, έχει και όλες τις ιδιότητες, ενός εγγεγραμμένου εξάγωνου σε κύκλο Tucker, που απορρέουν από το Θεώρημα Tucker (Παράγραφος 403, της Επίπεδης Γεωμετρίας Χ. Ταβανλή),
(γ). Την παραπάνω Πρότασή μου, έχω καταχωρήσει στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» στην παράγραφο 10ι(175) (τόμος 10).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
μετά και την παρέλευση της ημερομηνίας που είχα θέσει (3-7-2011), δίνω με το παρακάτω συνημμένο μου 92 τη δική μου διαπραγμάτευση της παραπάνω πρωτοεμφανιζόμενης Πρότασής μου 10ι(175) (τόμος 10) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», αφού μέχρι τώρα δεν δόθηκε απόδειξη από κάποιο φίλο.
Ο κύκλος (T,R), από τον τρόπο κατασκευής του [κατασκευή 10ι(168)], είναι ειδικός (σταθερός), για το τρίγωνο Α'Γ'Ε', οπότε και το εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ είναι σταθερό, άρα και τα σημεία (κέντρα) Κ, Ο, K', είναι σταθερά για το ίδιο τρίγωνο.

Αγαπητοί φίλοι,
στη θέση αυτή εδώ δεν είχα στόχο να παρουσιάσω απλώς τα θέματα που ανάρτησα, αλλά άλλος, στον οποίο θα αναφερθώ αργότερα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΚΕΝΤΡΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ.

Αγαπητοί φίλοι,
ο πραγματικός λόγος που ανάρτησα εδώ τα παραπάνω θέματα, είναι να έχω, έστω και λίγο σχετικό υλικό με τα νέα σταθερά σημεία (κέντρα) του τριγώνου, προκειμένου να σας ενημερώσω σχετικά με το παρακάτω αναφερόμενο Γεωμετρικό θέμα.
Σας κάνω γνωστά λοιπόν τα παρακάτω, μετά και τις παραπάνω πρωτοεμφανιζόμενες πιστεύω Προτάσεις μου, 8ι(186), 10ι(175), στις οποίες πρωτοεμφανίζονται προφανώς σταθερά σημεία (κέντρα) του τριγώνου, όπως για παράδειγμα, τα Κ, Κ', Τ, Ο (κοινό κέντρο των δύο ισόπλευρων τριγώνων ΗΙΜ, Η'Ι'Μ') (συνημμένο μου 91) και τα Κ, Ο, Κ' (συνημμένο μου 92).
Τέτοια σταθερά σημεία (κέντρα) στο τρίγωνο, έχω δώσει και σε άλλες θέσεις του mathematica, όπως ΕΔΩ (Προτάσεις 10ι(166), 10ι(164), , κτλ.
Ακόμη τέτοια σταθερά σημεία (κέντρα), έχω επινοήσει και άλλα πολλά, τα οποία και έχω συμπεριλάβει στα βιβλία μου.
Ο κ. Clark Kimberling (Νέα Υόρκη), έχει συγκεντρώσει όλα τα στοιχεία που υπήρχαν μέχρι την11-4-1994, σχετικά με τα σταθερά σημεία (κέντρα) που έχουν επινοηθεί τα οποία διαθέτει κάθε τρίγωνο και τα οποία έχει συμπεριλάβει σε εργασία του. Τα σημεία (κέντρα) αυτά είναι πολλά (περισσότερα από εκατό), όπως πχ το περίκεντρο, το έγκεντρο, το βαρύκεντρο, το σημείο Gergonne, το σημείο Steiner ή Fermat, το σημείο Lemoine, τa σημαία Brocard, το σημείο του Μ. Ναπολέοντα, το σημείο Vecten, το σημείο Morley, κτλ.
Ο κ. Clark Kimberling, ευγενώς ανταποκρινόμενος, σε αίτησή μου, μου έστειλε άμεσα την παραπάνω εργασία του στην οποία αναφέρει ότι πιστεύει πως τα κέντρα αυτά θα αυξηθούν σημαντικά.
Επειδή, τέτοια σταθερά σημεία (κέντρα), για το τρίγωνο, έχω επινοήσει και εγώ πολλά, με διάφορες πρωτοεμφανιζόμενες Προτάσεις μου, όπως παραπάνω αναφέρω, προτίθεμαι να του τα στείλω για να επιβεβαιωθεί η παραπάνω πρόβλεψή του και να επεκτείνει την εργασία του με τα νέα δικά μου κέντρα του τριγώνου.
Όμως, επειδή δεν βρίσκω κατάλληλο μεταφραστή, για να κάνει την σχετική μετάφραση, η υπόθεση αυτή εκκρεμεί. Θα ήθελα λοιπόν κάποιον εθελοντή φίλο, που έχει τη δυνατότητα και τη διάθεση, να κάνει την σχετική μετάφραση στα Αγγλικά.
Σημειώνω εδώ ότι κάτι ανάλογο με την εργασία του κ. Clark Kimberling, σκέπτομαι να κάνω και εγώ, για σταθερές ευθείες (άξονες) του τριγώνου, όπως η ευθεία Euler, η ευθεία ΦΝΟ (Fermat, Ναπολέοντα, περίκεντρο), κτλ, για σταθερούς κύκλους, όπως κύκλος Euler, κύκλοι Lemoine, Brocard, Adams, Teylor, κτλ, για σταθερά ισόπλευρα τρίγωνα, όπως τα ισόπλευρα τρίγωνα Ναπολέοντα, Morley, τα δύο παραπάνω ισόπλευρα τρίγωνα ΗΙΜ, Η'Ι'Μ', κτλ.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Έξι ομοκυκλικά σημεία.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Έξι ομοκυκλικά σημεία.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Έξι ομοκυκλικά σημεία.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Έξι ομοκυκλικά σημεία.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Έξι ομοκυκλικά σημεία.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Έξι ομοκυκλικά σημεία.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Έξι ομοκυκλικά σημεία.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Έξι ομοκυκλικά σημεία.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Έξι ομοκυκλικά σημεία.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Έξι ομοκυκλικά σημεία.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Έξι ομοκυκλικά σημεία.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Έξι ομοκυκλικά σημεία.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Έξι ομοκυκλικά σημεία.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Έξι ομοκυκλικά σημεία.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Έξι ομοκυκλικά σημεία.

Μέλη σε σύνδεση