Υπάρχουν λόγοι

KARKAR · #1

Σε ορθογώνιο στο

τρίγωνο $AB\Gamma$ , φέρω το ύψος $A\Delta=\upsilon$ , και γράφω τον εγγεγραμμένο κύκλο

που έχει ακτίνα $\rho$ , και εφάπτεται στην υποτείνουσα στο σημείο

1) Δείξτε ότι : $\displaystyle 2<\frac{\upsilon }{\rho }\leq 1+\sqrt{2}$

2) Βρείτε το λόγο $\displaystyle \frac{b}{c}$ ώστε $\Gamma\Delta= \Delta E$

Γιώργος Απόκης · #2

Mια λύση για το 1)

Ισχύουν οι τύποι για το εμβαδό του τριγώνου: $\displaystyle{E=\tau \rho}$ και $\displaystyle{E=\frac{1}{2}a\upsilon}$ . Επομένως,
$\displaystyle{\frac{1}{2}\rho(a+b+c)=\frac{1}{2}a\upsilon}\Leftrightarrow \frac{\upsilon}{\rho}=\frac{a+b+c}{a}$ (1)

Έστω ότι $\displaystyle{2<\frac{\upsilon}{\rho}\Leftrightarrow 2<\frac{a+b+c}{a} \Leftrightarrow 2a<a+b+c \Leftrightarrow a<b+c}$ (που ισχύει από τριγωνική ανισότητα)

και ότι $\displaystyle{\frac{\upsilon}{\rho} \leq 1+\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{a+b+c}{a} \leq 1+\sqrt{2}} \Leftrightarrow a+b+c \leq a+a\sqrt{2}\Leftrightarrow b+c \leq a\sqrt{2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (b+c)^2 \leq 2a^2} \Leftrightarrow b^2+2bc+c^2 \leq 2(b^2+c^2) \Leftrightarrow (b-c)^2 \geq 0$ (που ισχύει).

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Παρακάτω γίνεται μια διαπραγμάτευση του 2ου σκέλους.
Είναι $\Gamma \Delta =\frac{b^{2}}{a}$ και $\Gamma E=s-c=\frac{a+b-c}{2}$ .Αυτά από τη θεωρία.
Αυτό που ζητάμε είναι ισοδύναμο με $2\Gamma \Delta =\Gamma E\Leftrightarrow 2\frac{b^{2}}{a}=\frac{a+b-c}{2}\Leftrightarrow 4b^{2}=a\left(a+b-c \right)\Leftrightarrow 4b^{2}=a^{2}+ab-ac\Leftrightarrow 4b^{2}=b^{2}+c^{2}+ab-ac\Leftrightarrow 3b^{2}=c^{2}+a\left(b-c \right)\Leftrightarrow 3b^{2}-c^{2}=a\left(b-c \right)$ .
Εδώ - από το σχήμα -δεχόμαστε ότι $c\geq b$ .
Για να συνεχιστεί η διαδικασία-κρατώντας τις ισοδυναμίες-είναι απαραίτητο να τεθεί ό περιορισμός $3b^{2}-c^{2}\leq 0\Leftrightarrow \frac{b}{c}\leq \frac{\sqrt{3}}{3}$ .
Με αυτό στο μυαλό υψώνουμε στο τετράγωνο και έχουμε
$\left(3b^{2}-c^{2} \right)^{2}=a^{2}\left(b-c \right)^{2}\Leftrightarrow 9b^{4}-6b^{2}c^{2}+c^{4}=\left(b^{2}+c^{2} \right)\left(b^{2}-2bc+c^{2} \right)$ .
Μετά τις πράξεις και τις απλοποιήσεις καταλήγουμε στην
$4b^{3}+b^{2}c-4bc^{2}+c^{3}=0$
και αν διαιρέσουμε με $b^{2}c$ προκύπτει
$4\frac{b}{c}+1-4\frac{c}{b}+\frac{c^{2}}{b^{2}}=0$ .
Θέτοντας $\frac{b}{c}=y$ η εξίσωση γίνεται
$4y+1-4\frac{1}{y}+\frac{1}{y^{2}}=0\Leftrightarrow 4y^{3}+y^{2}-4y+1=0$ .
To ζήτημα καταλήγει να είναι αλγεβρικό.Η εξίσωση δεν έχει ρητές ρίζες.
Ωστόσο έχει τρεις πραγματικές ρίζες, .όπως διαπιστώνει κάποιος αν εφαρμόσει τη γνωστή θεωρία των τριτοβάθμιων.
Με το γεγονός ότι έχει τρεις πραγματικές και άρρητες ρίζες υπ' όψιν
καταφεύγουμε στην αριθμητική επίλυση.
Η μία ρίζα είναι αρνητική, άρα αυτή δεν κάνει.
Οι άλλες δύο είναι θετικές. Η μία είναι περίπου 0,679956 και δεν μας κάνει γιατί αντιτίθεται στον περιορισμό που τέθηκε πριν.Η άλλη είναι περίπου 0,299139 και αποτελεί τη λύση στο πρόβλημα, αφού ικανοποιεί τον περιορισμό.

Θα ήθελα να δω και άλλες ιδέες στο πρόβλημα.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Επειδή το θέμα εξακολουθεί να με απασχολεί -παρά τις σκοτούρες μου- το συζήτησα με έναν πολύ καλό φίλο και αφοσιωμένο μαθηματικό.Δυστυχώς δεν είναι μέλος του

.Βλέποντας το βρήκε ένα ερώτημα το οποίο θέτω.

Με το δεδομένο ότι $\Gamma \Delta =\Gamma E$ , αποδείξτε ότι $\left(AEB \right)=\frac{c^{2}}{8}$ .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

Παραθέτω μια λύση στο επιπλέον ερώτημα που τέθηκε.
Στο τρίγωνο AEB

η $A\hat{E}B$ είναι αμβλεία.
Αυτό γιατί στο ισοσκελές τρίγωνο $AE\Gamma$ ισχύει $\hat{\Gamma }=A\hat{E}\Gamma$ .Άρα $A\hat{E}B=180^{\circ }-A\hat{E}\Gamma =180^{\circ }-\hat{\Gamma }.$
Όμως το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο.Άρα $\hat{\Gamma }\prec 90^{\circ }\Rightarrow 180^{\circ }-\hat{\Gamma }\succ 90^{\circ }\Rightarrow A\hat{E}B\succ 90^{\circ }$
Εφαρμόζω το θεώρημα της αμβλείας γωνίας στο τρίγωνο $A\hat{E}B$ .
$c^{2}=AE^{2}+EB^{2}+2EB\cdot BE\Rightarrow c^{2}=b^{2}+EB^{2}+2EB\cdot BE\Rightarrow c^{2}-b^{2}=EB\left(EB+2BE \right)\Rightarrow c^{2}-b^{2}=EB\left(EB+\Gamma E\right)\Rightarrow c^{2}-b^{2}=EBa$
Δεν ξεχνώ το γεγονός ότι ισχύει
$4\frac{b^{3}}{c^{3}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}-4\frac{b}{c}+1=0\Rightarrow 4\frac{b}{c}\left(1-\frac{b^{2}}{c^{2}} \right)=1+\frac{b^{2}}{c^{2}}\Rightarrow 4\frac{b}{c}\frac{c^{2}-b^{2}}{c^{2}}=\frac{c^{2}+b^{2}}{c^{2}}\Rightarrow 4b\left(c^{2}-b^{2} \right)=a^{2}c\Rightarrow c^{2}-b^{2}=\frac{a^{2}c}{4b}$
Έτσι $aBE=\frac{a^{2}c}{4b}\Rightarrow \frac{a}{BE}=\frac{4b}{c}$ .
Αν

είναι το ίχνος της καθέτου που άγεται από το

προς την

τότε τα τρίγωνα $AB\Gamma ,ZBE$ είναι όμοια.
Έτσι $\frac{B\Gamma }{BE}=\frac{A\Gamma }{ZE}\Rightarrow \frac{a}{BE}=\frac{b}{ZE}$
Συνεπώς $\frac{4b}{c}=\frac{b}{ZE}\Rightarrow ZE=\frac{c}{4}$
Άρα $\left(AEB \right)=\frac{1}{2}AB\cdot ZE=\frac{1}{2}c\cdot \frac{c}{4}=\frac{c^{2}}{8}$

parmenides51 · #6

Ας προσθέσω μια σχετική παραπομπή με το εμβαδόν που ενδεχομένως να βοηθάει σε διαφορετική λύση τους τρίτου ερωτήματος.
Δεν τα καταφέρνω τόσο καλά με την Γεωμετρία για να την χρησιμοποιήσω, αλλά ίσως βοηθήσει κάποιον άλλο.

Υπάρχουν λόγοι

Υπάρχουν λόγοι

Re: Υπάρχουν λόγοι

Re: Υπάρχουν λόγοι

Re: Υπάρχουν λόγοι

Re: Υπάρχουν λόγοι

Re: Υπάρχουν λόγοι

Μέλη σε σύνδεση