Λύσεις Μαθ. κατ. 2009

[hsiodos]

Καλημέρα Λεωνίδα
Από την σχέση f΄(0) = 0 οδηγούμαστε σε εξίσωση(με άγνωστο το α)(εδώ διαφωνώ με τον αγαπητό κ.Κυριακόπουλο του οποίου θα ήθελα την διόρθωση αν κάνω λάθος) . Η εξίσωση αυτή έχει μοναδική λύση ως προς α και επομένως δεν χρειάζεται κάτι άλλο να κάνουμε.

Γιώργος

Αγαπητέ Γιώργο.
Το συμπέρασμα του θεωρήματος του Fermat δεν είναι καμία εξίσωση, αλλά μια ισότητα: f΄(0)=0. Από την ισότητα αυτή συνεπάγεται η ισότητα: α=e. Που βλέπεις να υπεισέρχεται εξίσωση; Δεν πρέπει να συγχέουμε την έννοια της ισότητας με την έννοια της εξίσωσης.

Κύριε Αντώνη νομίζω πως είναι εξίσωση η lnα -1 = 0 , ως προς α , από την οποία βρίσκουμε το α.

Γιώργος

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Μπάμπη μου μην το λες σ'εμενα ...Εγω κατανόησα και έμαθα κιόλας.(Ποτέ δεν ντρεπόμουν να το λεω!)

Όλοι Χρήστο μου, μαθαίνουμε από όλους, και τα περισσότερα από τους μαθητές μας, μικρούς ή μεγάλους.
Με αγάπη
Θωμάς

[Α.Κυριακόπουλος]

Με το θέμα αυτό και τον προβληματισμό που αναπτύχθηκε αποδεικνύεται περίτρανα η επιμονή και εμμονή του Αντώνη Κυριακόπουλο στην αξία της βαθειάς γνώσης των βασικών αποδεικτικών κανόνων και της μαθηματικής λογικής !!!(Αντώνη, πιο κατάλληλη περίπτωση από αυτή δεν θα μπορούσε να τύχει !).[/color][/i]

Μπάμπης

Αγαπητέ Μπάμπη.
Πράγματι είναι ευκαιρία. Αυτές τις ημέρες θα δημοσιεύσω στο Mathematica την εργασία μου με θέμα : « ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗ ΛΑΘΩΝ ΠΟΥ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΓΙΝΟΥΝ ΣΕ ΜΙΑ ΛΥΣΗ». Άλλωστε, το έχω υποσχεθεί και στα φίλο μας τον Κώστα τον Σερίφη.
Με εκτίμηση και αγάπη.

[R BORIS]

Τελικά και εγώ έχω την ίδια γνώμη που έχει ο Αντώνης και ο Μπάμπης (το είχα ξαναγράψει εξ΄ άλλου) αλλά η μοναδικότητα την οποία παραδέχτηκα δίνει έναν έλεγχο τρόπον τινά για το ορθό της εκφώνησης το οποίο βέβαια κανείς μαθητής δεν χρειάζεται να κάνει και κακώς το έβαλα στις λύσεις γιατί το γεγονός αυτό δεν είναι θέμα των μαθητών αλλά αντικείμενο διαλόγου μεταξύ συναδέλφων.Αν το κρίνετε σκόπιμο να το αφαιρέσω από τις λύσεις

[k-ser]

Προσπαθώ να καταλάβω τον προβληματισμό του Λεωνίδα Ιωσηφίδη.
Γράφει:
"Διότι αν η f παρουσιάζει το ίδιο ολικό ελάχιστο για x =  όπου , τότε δεν είναι σίγουρο ότι α=e αλλά μπορεί το α να παίρνει και άλλη τιμή. Άρα πρέπει να δείξουμε τη μοναδικότητα της λύσης της εξίσωσης f(x)=1."

Έστω η συνάρτηση: με .
Θεωρώ ότι η συνάρτηση έχει μέγιστο στο 1.
Με τη βοήθεια του Fermat, και όχι μόνο, προκύπτει εύκολα ότι .
Η συνάρτηση αυτή έχει άπειρες θέσεις στις οποίες παρουσιάζει μέγιστο με τιμή το 1.
Βέβαια αν υποθέσω ότι η συνάρτηση έχει μέγιστο στο 2, τότε θα προκύψει διαφορετική τιμή για το : .
Η διαφορετική τιμή για το προκύπτει γιατί αλλάζω την θέση στην οποία έχω το μέγιστο

Αν, ως δεδομένο είχα απλώς ότι: δεν θα μπορούσα να υπολογίσω την τιμή του !!!

Ελπίζω, με το παραπάνω παράδειγμά μου, να κατάλαβα σωστά τον προβληματισμό του Λεωνίδα.

Υ.Γ.: Δεν έχω μπροστά μου τα θέματα, αλλά με δεδομένο απλώς ότι , ο προβληματισμός του Λεωνίδα είναι βάσιμος. Και βέβαια, έχει δίκιο!

[chris_gatos]

Kώστα νομίζω πως το σκεπτικό σου είναι λίγο ανάποδο...Αν μιλάμε γενικά τότε εντάξει..Μα αν μιλάμε για τη συγκεκριμένη
θα έπρεπε να δίνεται και μια ανισοτική σχέση, ως βοήθημα...Συγνώμη , αλλά το περιπλέξαμε πολύ!! Σας χαιρετώ προς το παρόν και θα τα πούμε,εντός ολίγου..Γειά σας!

[segios]

Καλημερα σας.
Θα ηθελα να ρωτησω κατι σε σχεση με τη βαθμολογηση των μιγαδικων στο Β.
Αν εχει προχωρησει τν αρχικη εξισωση,στη συνεχεια θετει τον w=a+bi και φτανει στο
συστημα αλλα λογω ελλειψης χρονου σταματα στο a2+a-12=0(εχει βγαλει το b=1).
Δηλαδα δεν βρισκει διακρινουσα.Με αριστα τα 9 μορια πως θα πρεπει ν βαθμολογηθει?

Ευχαριστω προκαταβολικα.

[Α.Κυριακόπουλος]

Κύριε Αντώνη νομίζω πως είναι εξίσωση η lnα -1 = 0 , ως προς α , από την οποία βρίσκουμε το α.

Γιώργος

Γιώργο.lnα-1=0 είναι μια ισότητα που είναι συνέπεια της f΄(0)=0. Η έννοια της εξίσωσης είναι άλλη ( η διαφορά είναι μεγάλη αλλά και λεπτή). Δεν έχει σημασία αν από την lnα-1=0 μπορούμε να αποδείξουμε την ισότητα α=e, η οποία μας δίνει και την τιμή του α . Εξάλλου, η άσκηση δεν λέει να λύσουμε καμία εξίσωση. Λέει: να αποδείξουμε την ισότητα α=e, που θα μπορούσε να λέει: να αποδείξουμε την ισότητα α-e=0. Είναι επικίνδυνο να αντιμετωπίζουμε τις ισότητες σαν να ήταν εξισώσεις και τις εξισώσεις σαν να ήταν ισότητες, γιατί άλλες ιδιότητες έχουν οι ισότητες και άλλες ιδιότητες έχουν οι εξισώσεις.

[Α.Κυριακόπουλος]

Τελικά και εγώ έχω την ίδια γνώμη που έχει ο Αντώνης και ο Μπάμπης (το είχα ξαναγράψει εξ΄ άλλου) αλλά η μοναδικότητα την οποία παραδέχτηκα δίνει έναν έλεγχο τρόπον τινά για το ορθό της εκφώνησης το οποίο βέβαια κανείς μαθητής δεν χρειάζεται να κάνει και κακώς το έβαλα στις λύσεις γιατί το γεγονός αυτό δεν είναι θέμα των μαθητών αλλά αντικείμενο διαλόγου μεταξύ συναδέλφων.Αν το κρίνετε σκόπιμο να το αφαιρέσω από τις λύσεις

Αγαπητέ Ροδόλφε. Η γνώμη μου είναι να αφαιρέσεις αυτά που πρόσθεσες στη λύση, γιατί δεν χρειάζονται και μπερδεύουν τους μαθητές( και όχι μόνο).
Θέλω επίσης να σου πω ότι η μοναδικότητα, δεν είναι θέμα, όχι μόνο των μαθητών, αλλά ούτε και των καθηγητών, γιατί το θέμα είναι ξεκαθαρισμένο.

[Α.Κυριακόπουλος]

Υ.Γ.: Δεν έχω μπροστά μου τα θέματα, αλλά με δεδομένο απλώς ότι , ο προβληματισμός του Λεωνίδα είναι βάσιμος. Και βέβαια, έχει δίκιο!

Αγαπητέ Κώστα.
Μπορείς σε παρακαλώ να μου πεις σε ποιο θέμα ακριβώς έχει δίκιο ο Λεωνίδας και πώς αποδεικνύεται; Γιατί, αυτά που γράφει για τη λύση του θέματος 3Α δεν είναι σωστά. Το έχω αποδείξει σε προηγούμενο μήνυμά μου.
Μια εκτίμηση και αγάπη.

[k-ser]

Αγαπητέ Κώστα.
Μπορείς σε παρακαλώ να μου πεις σε ποιο θέμα ακριβώς έχει δίκιο ο Λεωνίδας και πώς αποδεικνύεται; Γιατί, αυτά που γράφει για τη λύση του θέματος 3Α δεν είναι σωστά. Το έχω αποδείξει σε προηγούμενο μήνυμά μου.
Μια εκτίμηση και αγάπη.

Αγαπητέ Αντώνη.
Η λύση, που κάνουμε όλοι μας, στο θέμα αυτό και σε παρόμοια, κάνει την εξής "αυθαίρετη" υπόθεση:
Το ελάχιστο της συνάρτησης συμβαίνει μόνο στη θέση .
Ας υποθέσουμε τώρα, ότι κάποιος - όπως ο Λεωνίδας, ισχυρίζεται ότι το ελάχιστο της συνάρτησης συμβαίνει και στη θέση .
Έτσι, ακολουθώντας την ίδια ακριβώς διαδικασία θα υπολογίσει την τιμή του και θα βρει:
.

Αυτός ακριβώς είναι ο προβληματισμός του Λεωνίδα και, πίστεψέ με, θα ήθελα να κάνει λάθος.
Δεν βλέπω όμως το λάθος του και για το λόγο αυτό του δίνω δίκιο.

Προσοχή! Ο Λεωνίδας σε καμιά περίπτωση δεν ισχυρίστηκε ότι, με την υπόθεση ότι έχω ελάχιστο στο 0, δεν προκύπτει ότι . Αυτό που γράφει είναι ότι: πρέπει να αποδείξω επιπλέον ότι η συνάρτηση δεν έχει ελάχιστο και σε κάποια άλλη θέση, δεδομένου ότι δεν δίνεται η θέση στην οποία έχω το ελάχιστο.

Συμπλήρωμα: Να το πω λίγο διαφορετικά για να γίνει πιο κατανοητό.
Στην απάντηση του θέματος, πρώτο μας μέλημα δεν είναι να βρούμε την τιμή του χ για την οποία ισχύει: ;
Πως απαντήσαμε στο ερώτημα αυτό;
Προφανώς χ=0!!!
Η εξίσωση έχει λύση τη χ=0 αλλά, αυτή, γιατί είναι μοναδική;;;;

Κάτι ακόμα: Στη συζήτηση του θέματος, δεν έγινε κατανοητή η παρατήρηση του Λεωνίδα και έτσι, το μόνο που δεν συζητήθηκε είναι αυτή ακριβώς η παρατήρηση!!

[Γιώργος Ρίζος]

Κύριε Αντώνη νομίζω πως είναι εξίσωση η lnα -1 = 0 , ως προς α , από την οποία βρίσκουμε το α.

Γιώργος

Γιώργο.lnα-1=0 είναι μια ισότητα που είναι συνέπεια της f΄(0)=0. Η έννοια της εξίσωσης είναι άλλη ( η διαφορά είναι μεγάλη αλλά και λεπτή). Δεν έχει σημασία αν από την lnα-1=0 μπορούμε να αποδείξουμε την ισότητα α=e, η οποία μας δίνει και την τιμή του α . Εξάλλου, η άσκηση δεν λέει να λύσουμε καμία εξίσωση. Λέει: να αποδείξουμε την ισότητα α=e, που θα μπορούσε να λέει: να αποδείξουμε την ισότητα α-e=0. Είναι επικίνδυνο να αντιμετωπίζουμε τις ισότητες σαν να ήταν εξισώσεις και τις εξισώσεις σαν να ήταν ισότητες, γιατί άλλες ιδιότητες έχουν οι ισότητες και άλλες ιδιότητες έχουν οι εξισώσεις.

.pdf

(206.04 KiB) Μεταφορτώθηκε 120 φορές

Αγαπητέ Αντώνη, θα ήθελα μια διευκρίνηση:
Πολλές φορές στις εκφωνήσεις θεμάτων δεν ζητείται η εύρεση τιμών μεταβλητών για τις οποίες ισχύουν οι ισότητες ή ανισότητες της υπόθεσης, αλλά η διατύπωση είναι π.χ.: "Να δείξετε ότι α = 9 ", όπως π.χ. στο Θ.3 της Γεν Παιδέιας 2009 και σε πάμπολα άλλα.
Το ίδιο και για το 3Α της κατεύθυνσης, όπου λέει ... "Να αποδείξετε ότι α =e". Τα δίνω στο συνημμένο, για όποιον διαβάσει το μήνυμα, μετά από καιρό...(Επισυνάπτω τη λύση του Ροδόλφου).
Τότε, η ισότητα της υπόθεσης, εφόσον περιέχει την παράμετρο α, δε λέμε ότι οδηγεί σε εξίσωση με άγνωστο το α, την τιμή του οποίου αναζητάμε;

Επειδή πιστεύω ότι η εκφώνηση έχει τέτοια διατύπωση μόνο και μόνο για να διευκολύνει τους υποψηφίους, (υποδεικνύοντας την απάντηση κι όχι θεωρώντας την δεδομένη) ρωτώ: Αν η εκφώνηση ήταν: "... βρείτε την τιμή του α ...", οι παραστάσεις -9 +α =0 ==> α =9 ή (στο 3Α κατεύθυνσης) lnα = 1 ==> α = e , στις οποίες θα καταλήγαμε, μετασχηματίζοντας τις ισότητες (για τα x που ορίζονται) της υπόθεσης, δεν είναι εξισώσεις;

Να σημειώσω επίσης, ότι από παλιά είχε αναπτυχθεί διάλογος για το αν νομιμοποιούνται απαντήσεις "αντίθετης φοράς" του τύπου: "βάζω όπου α το 9 και ξεκινώ...".
Πάντα λέω στους μαθητές να αποφεύγουν τέτοια μονοπάτια...

Ποιες είναι οι ιδιότητες των εξισώσεων που θα ήταν επικίνδυνο να χρησιμοποιήσουμε σε παρόμοιες περιπτώσεις;

Ελπίζω να μην κουράζουμε τους φίλους του forum. Ρωτώ με ειλικρινές ενδιαφέρον, γηράσκων (δυστυχώς) αεί διδασκόμενος (ευτυχώς).

Γιώργος Ρίζος

[R BORIS]

Θέλω να ρωτήσω το εξής
¨Εστω ότι το μοναδικό ελάχιστο 1 υφίσταται σε δυο τουλάχιστον θέσεις του Π.Ο. Κάποια από αυτές οδηγεί στο αν η άλλη οδηγήσει σε τότε η ασκηση είναι λάθος. Άρα τι ελέγχουμε με την μοναδικότητα? προφανώς αν είναι σωστή η εκφώνηση! ή όχι?

[k-ser]

Θέλω να ρωτήσω το εξής
¨Εστω ότι το μοναδικό ελάχιστο 1 υφίσταται σε δυο τουλάχιστον θέσεις του Π.Ο. Κάποια από αυτές οδηγεί στο αν η άλλη οδηγήσει σε τότε η ασκηση είναι λάθος. Άρα τι ελέγχουμε με την μοναδικότητα? προφανώς αν είναι σωστή η εκφώνηση! ή όχι?

Ροδόλφε,
το ελάχιστο συμβαίνει μόνο στη θέση χ=0. Αυτό όμως αποδεικνύεται με ποιον τρόπο;
Θα πούμε: αυτό συμβαίνει γιατί διαφορετικά η εκφώνηση της άσκησης είναι λάθος;

Αν ζητήσω να δειχθεί: τι θα κάνω;
Θα πω ότι το 1 κάνει αληθή την ισότητα άρα μια τιμή του είναι το 1 και εφόσον η εκφώνησή μου είναι σωστή... έχει δειχθεί!

[gbaloglou]

Θέλω να ρωτήσω το εξής
¨Εστω ότι το μοναδικό ελάχιστο 1 υφίσταται σε δυο τουλάχιστον θέσεις του Π.Ο. Κάποια από αυτές οδηγεί στο αν η άλλη οδηγήσει σε τότε η ασκηση είναι λάθος. Άρα τι ελέγχουμε με την μοναδικότητα? προφανώς αν είναι σωστή η εκφώνηση! ή όχι?

Ακριβως! Για την καλυτερη κατανοηση του ολου ζητηματος κατασκευασα το εξης προβλημα-παραδειγμα (μια και, οπως εξηγησαμε αλλου, ΑΝΤΙπαραδειγμα *δεν* μπορει να υπαρχει): αν η χ^4 + κχ^3 - 2χ^2 - χ εχει τοπικο ακροτατο στο χ = -1/4, να δειχθει οτι κ = 1/3. (Η αναλυση του προβληματος δειχνει οτι τοπικα ακροτατα εχουμε και στα χ = 1 και χ = -1, ομως *και* απο αυτες τις τιμες καταληγουμε στο κ = 1/3.)

Γιωργος Μπαλογλου

ΥΓ Θα μπορουσε επισης καποιος να ρωτησει: "μα εχει τελικα τοπικο ελαχιστο η συναρτηση στο χ = 0?" Μα αυτο ακριβως αποδεικνυουν τα επομενα δυο σταδια της ασκησης (με το δευτερο (κυρτοτητα) να οδηγει πολυ ομορφα στο τριτο)! [Αυτο δεν εχει αμεση σχεση με τα παραπανω, γι' αυτο και μπηκε σαν υστερογραφο.]

[gbaloglou]

Ακριβως! Για την καλυτερη κατανοηση του ολου ζητηματος κατασκευασα το εξης προβλημα-παραδειγμα (μια και, οπως εξηγησαμε αλλου, ΑΝΤΙπαραδειγμα *δεν* μπορει να υπαρχει): αν η χ^4 + κχ^3 - 2χ^2 - χ εχει τοπικο ακροτατο στο χ = -1/4, να δειχθει οτι κ = 1/3. (Η αναλυση του προβληματος δειχνει οτι τοπικα ακροτατα εχουμε και στα χ = 1 και χ = -1, ομως *και* απο αυτες τις τιμες καταληγουμε στο κ = 1/3.)

*Υποθετοντας* δηλαδη οτι εχουμε τοπικο ακροτατο στο χ = -1/4 καταληγουμε σε μια τιμη του κ η οποια δεν ειναι δυνατον να ανατραπει απο τα αλλα τοπικα ακροτατα (*που προκυπτουν απο την εξαχθεισα τιμη του κ*). Δεν ειναι ακριβως η ιδια κατασταση με το τριτο θεμα των πανελληνιων, οπου εχουμε την δυνατοτητα να αποδειξουμε οτι δεν μπορει να υπαρχει αλλο τοπικο ακροτατο.

Γιωργος Μπαλογλου

[polydeykhs]

Προσπαθώ να καταλάβω τον προβληματισμό του Λεωνίδα Ιωσηφίδη.
Γράφει:
"Διότι αν η f παρουσιάζει το ίδιο ολικό ελάχιστο για x =  όπου , τότε δεν είναι σίγουρο ότι α=e αλλά μπορεί το α να παίρνει και άλλη τιμή. Άρα πρέπει να δείξουμε τη μοναδικότητα της λύσης της εξίσωσης f(x)=1."

Έστω η συνάρτηση: με .
Θεωρώ ότι η συνάρτηση έχει μέγιστο στο 1.
Με τη βοήθεια του Fermat, και όχι μόνο, προκύπτει εύκολα ότι .
Η συνάρτηση αυτή έχει άπειρες θέσεις στις οποίες παρουσιάζει μέγιστο με τιμή το 1.
Βέβαια αν υποθέσω ότι η συνάρτηση έχει μέγιστο στο 2, τότε θα προκύψει διαφορετική τιμή για το : .
Η διαφορετική τιμή για το προκύπτει γιατί αλλάζω την θέση στην οποία έχω το μέγιστο
Αν, ως δεδομένο είχα απλώς ότι: δεν θα μπορούσα να υπολογίσω την τιμή του !!!

Ελπίζω, με το παραπάνω παράδειγμά μου, να κατάλαβα σωστά τον προβληματισμό του Λεωνίδα.

Υ.Γ.: Δεν έχω μπροστά μου τα θέματα, αλλά με δεδομένο απλώς ότι , ο προβληματισμός του Λεωνίδα είναι βάσιμος. Και βέβαια, έχει δίκιο!

Ρε συ συνάδελφε Κώστα ξέχωρα από την ουσία του θέματος είναι σωστή η έκφραση μέγιστο στο 1 ;
Λέμε ότι μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή την 1 στη θέση χ1 η κάνω λάθος;
Επί της ουσίας θα επανέλθω το βραδάκι.

[k-ser]

είναι σωστή η έκφραση μέγιστο στο 1 ;

Συγνώμη για την "βιαστική" έκφραση.
Θεωρώ ότι η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή, (το 1 βέβαια), στη θέση χ=1.

[k-ser]

Ακριβως! Για την καλυτερη κατανοηση του ολου ζητηματος κατασκευασα το εξης προβλημα-παραδειγμα (μια και, οπως εξηγησαμε αλλου, ΑΝΤΙπαραδειγμα *δεν* μπορει να υπαρχει): αν η χ^4 + κχ^3 - 2χ^2 - χ εχει τοπικο ακροτατο στο χ = -1/4, να δειχθει οτι κ = 1/3. (Η αναλυση του προβληματος δειχνει οτι τοπικα ακροτατα εχουμε και στα χ = 1 και χ = -1, ομως *και* απο αυτες τις τιμες καταληγουμε στο κ = 1/3.)

Γιώργο,
τι έχεις να πεις για την συνάρτηση f(x)=ημ(αx);
Αν θεωρήσω ότι έχει ακρότατο στη θέση χ=1 και, αν θεωρήσω ότι έχει ακρότατο στη θέση χ=2 η τιμή του α θα είναι η ίδια;

[gbaloglou]

Ακριβως! Για την καλυτερη κατανοηση του ολου ζητηματος κατασκευασα το εξης προβλημα-παραδειγμα (μια και, οπως εξηγησαμε αλλου, ΑΝΤΙπαραδειγμα *δεν* μπορει να υπαρχει): αν η χ^4 + κχ^3 - 2χ^2 - χ εχει τοπικο ακροτατο στο χ = -1/4, να δειχθει οτι κ = 1/3. (Η αναλυση του προβληματος δειχνει οτι τοπικα ακροτατα εχουμε και στα χ = 1 και χ = -1, ομως *και* απο αυτες τις τιμες καταληγουμε στο κ = 1/3.)

Γιώργο,
τι έχεις να πεις για την συνάρτηση f(x)=ημ(αx);
Αν θεωρήσω ότι έχει ακρότατο στη θέση χ=1 και, αν θεωρήσω ότι έχει ακρότατο στη θέση χ=2 η τιμή του α θα είναι η ίδια;

Οχι βεβαια -- αλλωστε και στο τριτο θεμα των πανελληνιων, αν μας δοθει οτι υπαρχει ακροτατο στο χ = 2 τοτε το a βγαινει ισο με περιπου 1.2415 αντι για e.

Το θεμα ειναι οτι η τιμη οπου -- συμφωνα με την εκφωνηση του προβληματος παντοτε -- παρουσιαζεται το ακροτατο καθοριζει την τιμη του a ... ανεξαρτητα απο την μοναδικοτητα η μη του ακροτατου (η οποια εξαρταται απο την φυση της δοθεισας συναρτησης, οπως δειχνει και το παραδειγμα μου με την τεταρτοβαθμια). [Ας ειμαστε πιο προσεκτικοι: η τιμη του a καθοριζεται μονοσημαντα απο την τοποθεσια του ακροτατου σε καποιες περιπτωσεις, οχι παντοτε -- στην συγκεκριμενη ασκηση αυτο ισχυει επειδη η *ως προς a εξισωση* a^x - ln(x+1) = 0 εχει μοναδικη λυση (που βρισκεται ευκολα μονον οταν χ = 0).]

Γιωργος Μπαλογλου

ΥΓ Θα λειψω για καποιες ωρες, χανοντας για λιγο την συνεχεια αυτης της ενδιαφερουσας συζητησης.