Εφαπτομένες σε υπερβολή (αντίστροφο)

parmenides51 · #1

Με αφορμή αυτό ζητείται το αντίστροφο.
Δηλαδή αν οι εφαπτομένες που φέρονται από ένα σημείο προς την υπερβολή $\displaystyle{C_2 :\frac{{x^2 }}{{a^2 }} - \frac{{y^2 }}{{\beta ^2 }} = 1}$ είναι κάθετες να αποδείξετε οτι το σημείο ανήκει στον κύκλο $\displaystyle{C_1 : x^2 + y^2 = a^2 - \beta ^2 (a > \beta > 0)}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

parmenides51 έγραψε:Με αφορμή αυτό ζητείται το αντίστροφο.
Δηλαδή αν οι εφαπτομένες που φέρονται από ένα σημείο προς την υπερβολή $\displaystyle{C_2 :\frac{{x^2 }}{{a^2 }} - \frac{{y^2 }}{{\beta ^2 }} = 1}$ είναι κάθετες να αποδείξετε οτι το σημείο ανήκει στον κύκλο $\displaystyle{C_1 : x^2 + y^2 = a^2 - \beta ^2 (a > \beta > 0)}$ .

Βγαίνει από το ευθύ: Φέρνουμε εφαπτομένη στην υπερβολή και έστω ότι τέμνει τον κύκλο στο Α. Από το Α φέρνουμε την δεύτερη εφαπτομένη στην υπερβολή (στον ίδιο κλάδο). Από το ευθύ, οι δύο είναι κάθετες. Κάθε άλλη κάθετη στην πρώτη εφαπτομένη, δηλαδή κάθε παράλληλη της δεύτερης εφαπτομένης, δεν εφάπτεται τον ίδια κλάδο της υπερβολής (υπάρχει μόνο μία εφαπτομένη στον κάθε κλάδο, δεδομένης κλίσης, αφού οι κλίσεις είναι μονότονη συνάρτηση - απλό). Από την μοναδικότητα αυτή, έπεται το ζητούμενο. Όμοια εργαζόμαστε και με τον άλλο κλάδο.

Μ.

Γιώργος Απόκης · #3

Μετά την πολύ γρήγορη λύση του Μιχάλη, θα επιχειρήσω μία με "βαριές" πράξεις!

Έστω $\displaystyle{M(x_0,y_0)}$ (με $\displaystyle{x_0\ne \pm a}$ ) σημείο από το οποίο φέρουμε τις κάθετες εφαπτόμενες
$\epsilon_1,\epsilon_2$ . Oι εξισώσεις τους έχουν τη μορφή $y-y_0=\lambda(x-x_0)$ και εφάπτονται στην υπερβολή
αν και μόνο αν το σύστημα των $\displaystyle{\begin{cases}y-y_0=\lambda(x-x_0) \\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \end{cases}}$ έχει μοναδική λύση.

Αντικαθιστούμε το y από την 1η στη 2η και απαιτούμε το τριώνυμο (ως προς x) να έχει μοναδική λύση, άρα

$\displaystyle{\Delta=0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow-b^2+\lambda^2a^2=\left( y_0-\lambda x_0 \right)^2\Leftrightarrow -b^2+\lambda^2a^2= y_0^2-2\lambda x_0 y_0+\lambda^2 x_0^2\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow\left( x_0^2-a^2 \right)\cdot \lambda^2-2x_0y_0\cdot \lambda+(y_0^2+b^2)=0}$

Η τελευταία έχει ως λύσεις τους συντελεστές διεύθυνσης των $\epsilon_1,\epsilon_2$ , έστω $\lambda_1,\lambda_2$ .
Από τους τύπους Vieta, έχουμε $\displaystyle{\lambda_1 \cdot \lambda_2=\frac{y_0^2+b^2}{x_0^2-a^2}}$ και αφού οι εφαπτόμενες είναι κάθετες, έχουμε τελικά:

$\displaystyle{-1=\frac{y_0^2+b^2}{x_0^2-a^2}}\Leftrightarrow a^2-x_0^2=y_0^2+b^2 \Leftrightarrow x_0^2+y_0^2=a^2-b^2$ , δηλαδή το ζητούμενο.

Εφαπτομένες σε υπερβολή (αντίστροφο)

Εφαπτομένες σε υπερβολή (αντίστροφο)

Re: Εφαπτομένες σε υπερβολή (αντίστροφο)

Re: Εφαπτομένες σε υπερβολή (αντίστροφο)

Μέλη σε σύνδεση