Ποιο το πραγματικό μέρος;

pana1333 · #1

Μιας και κάποιοι ξεκινήσαμε τη καλοκαιρινή προετοιμάσια.....

Αν ο μιγαδικός $z_{1}$ είναι λύση της εξίσωσης $\left(z+2 \right)^{\nu }=z^{\nu }, \nu \epsilon N^{*}$ , να βρεθεί το πραγματικό μέρος του $z_{1}$ .

Γιώργος Απόκης · #2

είναι ίση με την απόστασή του από το O(0,0)

.

Αυτό σημαίνει ότι η εικόνα του βρίσκεται στη μεσοκάθετο του

, που είναι η ευθεία x=-1

,

άρα

.

pana1333 · #3

Γιώργο ευχαριστώ για την ωραία και σύντομη λύση σου....Εγώ στη λύση μου περιλαμβάνω περισσότερες πράξεις και ιδότητες. Είναι απλή αλλά την έβαλα διότι περιέχει αρκετά βασικά στοιχεία στους μιγαδικούς.

Γιώργος Απόκης · #4

Να είσαι καλά Χρήστο. Πράγματι ο πιο "κλασικός" τρόπος είναι να υψώσεις στο τετράγωνο και να χρησιμοποιήσεις την
ιδιότητα $\left|z\right|^2=z\cdot \bar{z}$ . Tυχαίνει εδώ να είναι απλή περίπτωση. Καλή συνέχεια!

Χρήστος Λαζαρίδης · #5

Νομίζω ότι η παραπάνω άσκηση είναι δυνατόν να γενικευτεί με ενδιαφέρουσες εφαρμογές.

1) $\displaystyle{\left( {z + \alpha } \right)^v = z^v ,z \in C,\alpha \in R,v \in N^*}$
τότε: $\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) = - \frac{\alpha }{2}}$

2) $\displaystyle{(z + a)^v = z^v ,z,a \in C,v \in N^*}$
τότε: $\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} (\overline a z) = - \frac{{\left| a \right|^2 }}{2}}$

Φιλικά Χρήστος

johnmad · #6

1)
${\left( {z + \alpha } \right)^v} = {z^v} \Rightarrow \left| {{{\left( {z + \alpha } \right)}^v}} \right| = \left| {{z^v}} \right| \Leftrightarrow {\left| {\left( {z + \alpha } \right)} \right|^\nu } = {\left| z \right|^\nu } \Leftrightarrow \left| {\left( {z + \alpha } \right)} \right| = \left| z \right|\Leftrightarrow {\left| {z + \alpha } \right|^2} = {\left| z \right|^2} \Leftrightarrow (z + a)(\overline z + a) = z\overline z \Leftrightarrow z\overline z + z\alpha + \alpha \overline z + {a^2} = z\overline z \Leftrightarrow\alpha (z + \overline z ) = - {a^2} \Leftrightarrow a2{\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) = - {a^2} \Leftrightarrow a \ne 0,{\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) = - \frac{\alpha }{2}$ .

2)
${\left( {z + \alpha } \right)^v} = {z^v} \Rightarrow \left| {{{\left( {z + \alpha } \right)}^v}} \right| = \left| {{z^v}} \right| \Leftrightarrow {\left| {\left( {z + \alpha } \right)} \right|^\nu } = {\left| z \right|^\nu } \Leftrightarrow \left| {\left( {z + \alpha } \right)} \right| = \left| z \right| \Leftrightarrow {\left| {z + \alpha } \right|^2} = {\left| z \right|^2} \Leftrightarrow (z + a)(\overline z + \overline a ) = z\overline z \Leftrightarrow z\overline z + z\overline \alpha + \alpha \overline z + a\overline \alpha = z\overline z \Leftrightarrow z\overline \alpha + \alpha \overline z = - a\overline \alpha \Leftrightarrow z\overline \alpha + \overline {z\overline \alpha } = - {\left| z \right|^2} \Leftrightarrow 2{\mathop{\rm Re}\nolimits} (z\overline \alpha ) = - {\left| z \right|^2} \Leftrightarrow {\mathop{\rm Re}\nolimits} (z\overline \alpha ) = - \frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{2}$ .

Ποιο το πραγματικό μέρος;

Ποιο το πραγματικό μέρος;

Re: Ποιο το πραγματικό μέρος;

Re: Ποιο το πραγματικό μέρος;

Re: Ποιο το πραγματικό μέρος;

Re: Ποιο το πραγματικό μέρος;

Re: Ποιο το πραγματικό μέρος;

Μέλη σε σύνδεση