Άρρητοι και ρητοί

[Γιώργος Απόκης]

Δεν ξέρω αν έχει συζητηθεί, θα είχε ενδιαφέρον να "μαζέψουμε" αποδείξεις για τα εξής:

α) Μεταξύ δύο ρητών υπάρχει τουλάχιστον ένας ρητός.
β) Μεταξύ δύο ρητών υπάρχει τουλάχιστον ένας άρρητος.
γ) Μεταξύ ρητού και άρρητου υπάρχει τουλάχιστον ένας ρητός.
δ) Μεταξύ ρητού και άρρητου υπάρχει τουλάχιστον ένας άρρητος.
ε) Μεταξύ δύο άρρητων υπάρχει τουλάχιστον ένας ρητός.
στ) Μεταξύ δύο άρρητων υπάρχει τουλάχιστον ένας άρρητος.

(Στους πραγματικούς αριθμούς και με γνώσεις Λυκείου)

Edit: Aς συμβολίσουμε με τους ρητούς, τους άρρητους και ας θεωρήσουμε
δεδομένο ότι :ρητός, :άρρητος όπου * οι τέσσερις πράξεις

[Γιώργος Απόκης]

Ας κάνω την αρχή...

α) Ο αριθμός είναι ρητός και ισχύει .

β) O αριθμός είναι άρρητος και ισχύει .

[Mihalis_Lambrou]

H άσκηση αυτή είναι πάρα πολύ κοινή και γνωστή.
Δεν υπάρχει λόγος να επαναλάβουμε εδώ θεωρία που μπορεί να βρεί κανείς σε όλα τα βιβλία Ανάλυσης, π.χ. στον Νεγρεπόντη και στον Spivak.

Συνήθως οι ζητούμενες προς απόδειξη εκφράζεται με τα γνωστότατα α) το σύνολο των ρητών είναι πυκνό και β) το σύνολο των αρρήτων είναι πυκνό στο . (Τα α) και β) είναι, άλλωστε, ισχυρότερα από τα ζητούμενα).

Μ.

Υ.Γ. Ας προσθέσω ότι από τα ζητούμενα το ε) δεν βγαίνει με γνώσεις Λυκείου. Χρειάζεται το αξίωμα πληρότητας. Συνήθως η απόδειξή πηγαίνει με χρήση της Αρχιμήδειας ιδιότητας ή με χρήση του αποτελέσματος "κάθε αριθμός έχει δεκαδικό ανάπτυγμα".

[Γιώργος Απόκης]

H άσκηση αυτή είναι πάρα πολύ κοινή και γνωστή.
Δεν υπάρχει λόγος να επαναλάβουμε εδώ θεωρία που μπορεί να βρεί κανείς σε όλα τα βιβλία Ανάλυσης, π.χ. στον Νεγρεπόντη και στον Spivak.

Συνήθως οι ζητούμενες προς απόδειξη εκφράζεται με τα γνωστότατα α) το σύνολο των ρητών είναι πυκνό και β) το σύνολο των αρρήτων είναι πυκνό στο . (Τα α) και β) είναι, άλλωστε, ισχυρότερα από τα ζητούμενα).

Μ.

Υ.Γ. Ας προσθέσω ότι από τα ζητούμενα το ε) δεν βγαίνει με γνώσεις Λυκείου. Χρειάζεται το αξίωμα πληρότητας. Συνήθως η απόδειξή πηγαίνει με χρήση της Αρχιμήδειας ιδιότητας ή με χρήση του αποτελέσματος "κάθε αριθμός έχει δεκαδικό ανάπτυγμα".

Σαφώς και είναι γνωστά τα αποτελέσματα. Πρόθεσή μου ήταν μια άσκηση-πρόκληση: να αποδείξουμε
τις προτάσεις με τα εργαλεία του Λυκείου!

[Mihalis_Lambrou]

Σαφώς και είναι γνωστά τα αποτελέσματα. Πρόθεσή μου ήταν μια άσκηση-πρόκληση: να αποδείξουμε
τις προτάσεις με τα εργαλεία του Λυκείου!

To έχω ήδη απαντήσει αυτό.

Συγκεκριμένα, το ε) ΔΕΝ απαντάται με όρους Λυκείου. Οποιαδήποτε απόδειξη θα έχει με τον έναν ή τον άλλο τρόπο, κρυφά ή φανερά, χρήση του αξιώματος πληρότητας.

Μ.

[nsmavrogiannis]

Οποιαδήποτε απόδειξη θα έχει με τον έναν ή τον άλλο τρόπο, κρυφά ή φανερά, χρήση του αξιώματος πληρότητας.
Μ.

Είναι δυνατόν (όχι δύσκολα) να αποδειχθεί ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:
1) Μεταξύ δύο οποιωνδήποτε πραγματικών υπάρχει κάποιος ρητός
2) Για κάθε ζεύγος πραγματικών με υπάρχει φυσικός αριθμός ώστε (Αξίωμα του Αρχιμήδη)
3) Το δεν είναι φραγμένο πάνω στο δηλαδή για κάθε υπάρχει ώστε να ισχύει
4) Υπάρχει η συνάρτηση ακεραίου μέρους δηλαδή υπάρχει συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει .
Πράγματι λοιπόν κάθε απόδειξη του 1) με κάποιο τρόπο χρειάζεται αν όχι όλη την ισχύ ενός αξιώματος πληρότητας τουλάχιστον το Αξίωμα του Αρχιμήδη.
Το πρόβλημα που ανακύπτει για μία σχολική απόδειξη είναι πως αυτή την ιδιότητα δεν την έχουμε στα σχολικά Μαθηματικά αν και σε μερικές περιστάσεις την υπονοούμε ειδικά με την μορφή 3). Εν πάση περιπτώσει ακόμη και μία σχολική απόδειξη θα πρέπει να αναφέρει τι ακριβώς προκύπτει από τι και αυτό επισημαίνει ο Μιχάλης.
Μαυρογιάννης

[Mihalis_Lambrou]

Βάζω περίληψη της στάνταρ απόδειξης, για δοθέντα . Δεν θα χρειαστεί να υποθέσουμε τίποτα ως προς την ρητότητα ή μη των , αλλά η απόδειξη είναι εννιαία:

α) Βρίσκουμε από Αρχιμέδεια, κατάλληλα μεγάλο με .
β) έστω o μικρότερος φυσικός τέτοιος ώστε .

Έυκολα τώρα αποδεικνύεται ότι . Επίσης για κατάλληλα μεγάλο είναι .

Δηλαδή βρήκαμε και ρητό και άρρητο μεταξύ των .

M.


Edit αργότερα: Είδα το μήνυμα του Νίκου μετά που έστειλα το δικό μου. Το αφήνω έτσι και αλλιώς.