Παραγοντοποίηση πολυωνύμου!

#1

Να παραγοντοποιηθεί πλήρως το πολυώνυμο

$\displaystyle{f(x,y,z)=(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5.}$

stuart clark · #2

$\displaystyle {f(x,y,z) = (x+y+z^5)-x^5-y^5-z^5& = \left\{(x+y+z)^5-x^5\right\}-(y^5+z^5)}$

$\displaystyle{=(y+z)\left\{(x+y+z)^4+(x+y+z)^3x+(x+y+z)^2x^2+(x+y+z)x^3+x^4\right\}-(y+z)(y^4-y^3z+y^2z^2-yz^3+z^4)}$

$\displaystyle{=(y+z)\left\{(x+y)^4+4(x+y)^3z+6(x+y)^2z^2+4(x+y)z^3+z^4+x(x+y)^3+3x(x+y)^2z+3x(x+y)z^2+xz^3}}$

$\displaystyle {+x^2(x+y)^2+2x^2(x+y)z+x^2z^2+x^3(x+y)+x^3z+x^4-y^4+y^3z-y^2z^2+yz^3-z^4\right\}}$

$\displaystyle{=(y+z)\left\{ (x+y)^4+4(x+y)^3z+6(x+y)^2z^2+4(x+y)z^3+z^4+3x(x+y)^2z+3x(x+y)z^2+x^2(x+y)^2+2x^2(x+y)z+x^3(x+y)}$

${\displaystyle{+(x+y)(x-y)(x^2+y^2)+(x+y)(x^2-xy+y^2)z+(x+y)(x-y)z^2+(x+y)z^3}}$

έτσι

$\displaystyle{=(y+z)(x+y)\left\{(x+y)^3+4(x+y)^2z+6(x+y)z^2+4z^3+x(x+y)^2+3x(x+y)z+3xz^2+x^2(x+y)+2x^2z+x^3}$

$\displaystyle{+(x-y)(x^2+y^2)+(x^2-xy+y^2)z+(x-y)z^2+z^3}$

έτσι

$\displaystyle{=(y+z)(x+y)\left\{5x^3+5z^3+5x^2y+10x^2z+5xy^2+5y^2z+10xz^2+5yz^2+10xyz\right\}}$

$\displaystyle{=(y+z)(x+y)\left\{ \left(5x^3+5x^2y+5x^2z+5xy^2+5xz^2+5xyz\right)+\left(5z^3+5x^2z+5y^2z+5xz^2+5yz^2+5xyz\right)\right\}}$

$\displaystyle{=(y+z)(x+y)\left\{ 5x\left(x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz\right)+5z\left(x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz\right)\right\}}$

$\displaystyle{=5(x+y)(y+z)(z+x)\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\right)}$

#3

Ας επιχειρήσουμε να βρούμε ακόμα έναν (συντομότερο) τρόπο, για να παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο (συμπεριλαμβανομένου και του όρου $\displaystyle{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}$ ).

#4

matha έγραψε:Να παραγοντοποιηθεί πλήρως το πολυώνυμο

$\displaystyle{f(x,y,z)=(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5.}$

Ως πολυώνυμο του x βλέπουμε ότι έχει ρίζες τις x=-y, x=-z

, οπότε έχει παράγοντες τους (x+y), (x+z)

και όμοια τον y+z

.

Λαμβάνοντας υπόψη τους βαθμούς και την συμμετρία βλέπουμε ότι υπάρχουν σταθερές A,B,C, D

με

$\displaystyle{(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5 =$

$\displaystyle{=(x+y)(y+z)(z+x) \left( A(x^2+y^2+z^2) + B(xy+yz+zx) +C(x+y+z)+D \right)}$

Συγκρίνουμε τώρα συντελεστές.

Το αριστερό μέλος έχει μόνο όρους πέμπτου βαθμού (προφανές από το ανάπτυγμα του δυωνύμου). Εύκολα συμεραίνουμε ότι C=D=0

. Επίσης εύκολα βλέπουμε ότι αριστερά ο συντελεστής του x^4

είναι

ενώ δεξιά

, άρα

. Βάζοντας x=y=z=1

συμ[ραίνουμε ότι B=5

, και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#5

Αποδείξαμε, ότι ισχύει η ταυτότητα

$\displaystyle{\boxed{(x+y+z)^5=x^5+y^5+z^5+5(x+y)(y+z)(z+x)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)}}$

Ας παρατηρήσουμε, τώρα, ότι αυτή μας λύνει τα χέρια σε αυτό το πρόβλημα.

AlexandrosG · #6

Είναι αρκετά γνωστή και η ταυτότητα

(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)

.

που μοιάζει λίγο με την παραπάνω.

Ισχύει κάτι παρόμοιο και για μεγαλύτερες δυνάμεις?

#7

Ενδιαφέρουσες είναι οι προσπάθειες με τις οποίες παραγοντοποιούμε
μια παράσταση και έχουν "μαθηματική αξία".
Πολλές όμως από τις παραστάσεις αυτές όταν δεν αποτελούν
"αυτοσκοπό" μιας προσπάθειας, λύνονται με κάποιο λογισμικό.

Για παράδειγμα με το λογισμικό Maple και με την εντολή "factor"
έχουμε αμέσως την παραγοντοποίηση αυτή.

Κώστας Δόρτσιος

Παραγοντοποίηση πολυωνύμου!

Παραγοντοποίηση πολυωνύμου!

Re: Παραγοντοποίηση πολυωνύμου!

Re: Παραγοντοποίηση πολυωνύμου!

Re: Παραγοντοποίηση πολυωνύμου!

Re: Παραγοντοποίηση πολυωνύμου!

Re: Παραγοντοποίηση πολυωνύμου!

Re: Παραγοντοποίηση πολυωνύμου!

Μέλη σε σύνδεση