Ισότητα μιγαδικών πολυωνύμων

#1

Δίνονται δυο μη σταθερά μιγαδικά πολυώνυμα P,Q

τα οποία έχουν ακριβώς τις ίδιες ρίζες αλλά με διαφορετική ίσως πολλαπλότητα. Αν το ίδιο ισχύει και για τα πολυώνυμα P(z) + 1

και

τότε να αποδειχθεί ότι τα πολυώνυμα είναι ίσα.

#2

Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι $\displaystyle{\deg \left( {P\left( z \right)} \right) \ge \deg \left( {Q\left( z \right)} \right) \ge 1.}$

Έστω ότι το πολυώνυμο $\displaystyle{P\left( z \right)}$ έχει ρίζες $\displaystyle{{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_r}}$ με αντίστοιχες πολλαπλότητες $\displaystyle{{m_1},{m_2}, \ldots ,{m_r}}$ και ότι το πολυώνυμο $\displaystyle{P\left( z \right) +1 }$ έχει ρίζες $\displaystyle{{b_1},{b_2}, \ldots ,{b_s}}$ με αντίστοιχες πολλαπλότητες $\displaystyle{{n_1},{n_2}, \ldots ,{n_s}.}$

Από την υπόθεση, οι διαφορετικοί μεταξύ τους αριθμοί $\displaystyle{{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_r},{b_1},{b_2}, \ldots ,{b_s}}$ είναι ρίζες του πολυωνύμου $\displaystyle{P\left( z \right) - Q\left( z \right).}$ Αν, λοιπόν, υποθέσουμε ότι το $\displaystyle{P\left( z \right) - Q\left( z \right)}$ δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο, τότε θα ισχύει:

$\displaystyle{\deg \left( {P\left( z \right) - Q\left( z \right)} \right) \ge r + s}$ (1).

Επίσης, ισχύει η προφανής ανισότητα

$\displaystyle{\deg \left( {P\left( z \right)} \right) = \deg \left( {P\left( z \right) + 1} \right) \ge \deg \left( {P\left( z \right) - Q\left( z \right)} \right)}$ (2).

Χρησιμοποιώντας τις ανισότητες (1) και (2), βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{\deg \left( {P^{\prime}\left( z \right)} \right) \ge \sum\limits_{i = 1}^r {\left( {{m_i} - 1} \right) + } \sum\limits_{j = 1}^s {\left( {{n_j} - 1} \right) = } \sum\limits_{i = 1}^r {{m_i} + } \sum\limits_{j = 1}^s {{n_j} - \left( {r + s} \right) \ge } }$

$\displaystyle{\ge \deg \left( {P\left( z \right)} \right) + \deg \left( {P\left( z \right) + 1} \right) - \deg \left( {P\left( z \right) - Q\left( z \right)} \right) \ge \deg \left( {P\left( z \right)} \right),}$

που είναι άτοπο.

Ώστε, τα πολυώνυμα $\displaystyle{P\left( z \right)}$ και $\displaystyle{Q\left( z \right)}$ είναι ίσα.

#3

Είναι το πρόβλημα Β7 από τον διαγωνισμό Putnam του 1956.

Ισότητα μιγαδικών πολυωνύμων

Ισότητα μιγαδικών πολυωνύμων

Re: Ισότητα μιγαδικών πολυωνύμων

Re: Ισότητα μιγαδικών πολυωνύμων

Μέλη σε σύνδεση