Γωνίες πολυγώνου!

#1

Ένα κυρτό πολύγωνο έχει τρεις γωνίες του ίσες με $\displaystyle{60^0.}$

Να αποδειχθεί, ότι το πολύγωνο είναι ισόπλευρο τρίγωνο.

#2

Θάνο αυτή είναι πολύ ωραία άσκηση.

Μου έσπασε τα νεύρα πως θα τη γράψω και ευχαριστημένος δεν είμαι...

Έστω $k \in \mathbb{N}^*$ το πλήθος των γωνιών του ν-γώνου $(k < \nu)$ που είναι άνω των τριών, δηλαδή $\nu=3+k$ .

To άθροισμα των γωνιών του κυρτού ν-γώνου, εκτός των τριών γωνιών των 60^o

είναι:

$S=(\nu-2)180^o-3 \cdot 60^o=(\nu-3) \cdot 180^o=k \cdot 180^o, k \geq 0$ .

Αν k>0

, δεδομένου ότι οι

γωνίες είναι κυρτές, έχουν άθροισμα $0 <S<k \cdot 180^o$ , που είναι άτοπο.
Αν k=0

, έχουμε $\nu=3$ , άρα τρίγωνο με τρεις γωνίες ίσες, οπότε ισόπλευρο τρίγωνο.

Αν δεν κάνω λάθος μπορεί να γενικευθεί ως εξής:
Αν σε ένα κυρτό ν-γωνο τρεις γωνίες του έχουν άθροισμα 180^o

, να αποδείξετε ότι το πολύγωνο αυτό είναι το τρίγωνο.

spiros filippas · #3

Ισχύει ότι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κάθε κυρτού ν-γώνου είναι ίσο με 4 ορθες.

Το άθροισμα όμως των εξωτερικών γωνιών του συγκεκριμένου ν-γώνου ισούται με 3(180-60)=360

. Αρα αναγκαστικά n=3

#4

spiros filippas έγραψε:Ισχύει ότι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κάθε κυρτού ν-γώνου είναι ίσο με 4 ορθες.

Το άθροισμα όμως των εξωτερικών γωνιών του συγκεκριμένου ν-γώνου ισούται με . Αρα αναγκαστικά

στον μαθητή μας της Β Γυμνασίου

S.E.Louridas · #5

Μπράβο Σπύρο Μπράβο.
Η σύντομη Μαθηματική ακρίβεια σε πλήρη δράση από ένα 14-χρονο Μαθηματικό αστέρι, πού είχε τιμήσει δεόντος και ημέτερο προτεινόμενο πρόβλημα.

S.E.Louridas

#6

Σπύρο,
ένα μεγάλο μπράβο και από μένα! Η λύση σου είναι υποδειγματική!
Και φυσικά μη φοβάσαι η διστάζεις να απαντάς η να θέτεις ερωτήματα στο

Γωνίες πολυγώνου!

Γωνίες πολυγώνου!

Re: Γωνίες πολυγώνου!

Re: Γωνίες πολυγώνου!

Re: Γωνίες πολυγώνου!

Re: Γωνίες πολυγώνου!

Re: Γωνίες πολυγώνου!

Μέλη σε σύνδεση