Λύσεις Μαθ. κατ. 2009

[chris_gatos]

Κώστα σου είναι εύκολο να προσαρμόσεις την εκφώνηση της άσκησης των πανελληνίων , επάνω στο αντιπαράδειγμά σου;

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Ας δούμε μια συνάρτηση που το ολικό ελάχιστο παρουσιάζεται σε άπειρες θέσεις.
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = \alpha \eta \mu (\alpha x) - 2(\alpha + 1)\eta \mu \left( {2(\alpha + 1)x} \right), όπου \alpha \in \mathbb{R}.
Αν ισχύει f(x) \geqslant 0, για κάθε x \in \mathbb{R} , να βρεθούν οι τιμές του α.
Θωμάς
Υ.Γ
Όταν μάλιστα κάνουμε αντικατάσταση τις τιμές του α στην αρχική βγάζουμε ένα ενδιαφέρον συμπέρασμα για τη f

[Α.Κυριακόπουλος]

Αγαπητέ Αντώνη.
Η λύση, που κάνουμε όλοι μας, στο θέμα αυτό και σε παρόμοια, κάνει την εξής "αυθαίρετη" υπόθεση:
Το ελάχιστο της συνάρτησης συμβαίνει μόνο στη θέση .
Ας υποθέσουμε τώρα, ότι κάποιος - όπως ο Λεωνίδας, ισχυρίζεται ότι το ελάχιστο της συνάρτησης συμβαίνει και στη θέση .
Έτσι, ακολουθώντας την ίδια ακριβώς διαδικασία θα υπολογίσει την τιμή του και θα βρει:
.

Αυτός ακριβώς είναι ο προβληματισμός του Λεωνίδα και, πίστεψέ με, θα ήθελα να κάνει λάθος.
Δεν βλέπω όμως το λάθος του και για το λόγο αυτό του δίνω δίκιο.

Αγαπητέ Κώστα.
Δεν έχουμε κάνει καμία αυθαίρετη υπόθεση. Νομίζω ότι τα πράγματα φαίνονται δύσκολα ακριβώς γιατί είναι πολύ απλά.
• Από το γεγονός ότι η συνάρτηση έχει ελάχιστο στην θέση x= 0, εφαρμόζοντας το θεώρημα του Fermat, βρίσκουμε ότι α=e.
•Έστω τώρα ότι η συνάρτηση έχει ελάχιστο ( γενικότερα, τοπικό ακρότατο) και σε μια άλλη θέση x=ξ, όπου ξ διάφορο του 0 (0 και ξ εσωτερικά σημεία του συνόλου ορισμού της συνάρτησης). Eφαρμόζοντας και πάλι το θεώρημα του Fermat, βρίσκουμε μια τιμή του α συναρτήσει του ξ .Έστω: α=φ(ξ)( εννοείται ότι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε εξασφαλίσει ότι εφαρμόζεται το θεώρημα του Fermat).
1) Αν φ(ξ)=e, τότε δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα.[ Γενικότερα, αν οι ισότητεςf΄(0)=ο και f΄(ξ)=0 είναι συμβιβαστές, δηλαδή δεν οδηγούν σε άτοπο ].
2) Aν φ(ξ) διάφορο του e, τότε τέτοιο ξ δεν υπάρχει, γιατί φθάνουμε σε άτοπο: α=e και α=φ(ξ) διάφορο του e, δηλαδή α διάφορο του e. [ Γενικότερα, αν οι ισότητεςf΄(0)=ο και f΄(ξ)=0 είναι ασυμβίβαστες, δηλαδή οδηγούν σε άτοπο].
Αγαπητέ Κώστα. Που είναι το πρόβλημα; Βλέπεις τίποτα το περίεργο στα παραπάνω; Κάναμε καμία αυθαίρετη υπόθεση; Νομίζω ότι όλα είναι απλά, καθαρά. και κατανοητά. Από που έως που έχει δίκιο ο Λεωνίδας; Αξίζει τον κόπο να γραφούν για το θέμα αυτό τόσα μηνύματα;
Λοιπόν Κώστα. Αρνούμαι να γράψω έστω και μια γραμμή ακόμα για το θέμα αυτό. Έχουμε τόσα άλλα ωραία πράγματα να πούμε.

[hsiodos]

Λοιπόν ορισμένες τοποθετήσεις έχουν αρχίσει και με μπερδεύουν.
Βάζω τα πράγματα σε μια σειρά όσον αφορά εμένα για να μην παρεξηθώ.
Για το συγκεκριμένο 3Α
Μου δίνουν συνάρτηση f (στον τύπο έχουμε το επίμαχο α)
και-ουσιαστικά- ότι παρουσιάζει στο χ=0 ελάχιστο το 1 (2)
Μου ζητάνε την τιμή του α (μου την λένε κιόλας) ώστε να ισχύουν οι (1) και (2).
(1) Καταλαβαίνω από την διατύπωση ότι υπάρχει τέτοια τιμή του α (και ας μην την ήξερα).
Διαφορετικά θα μου έλεγαν π.χ '' εξέτασε αν υπάρχει τιμή του α ώστε να ισχύουν οι (1) και (2) ''
(2) Αφού αιτιολογήσω αυτά που πρέπει χρησιμοποιώντας Fermat καταλήγω στην εξίσωση lna -1 = 0 και βρίσκω μοναδική λύση α = e .
Εκεί τελειώνει (σωστά) για μένα η απάντηση στο ερώτημα είτε ακολουθούν τα υπόλοιπα ερωτήματα είτε όχι.
(3) Θα υπήρχε θέμα αν βρίσκαμε σε ''αντίστοιχη'' άσκηση δύο ή περισσότερες τιμές για το α.
Παράδειγμα με οδηγό την (έχει ελάχιστο το μηδέν στα χ=1 και χ=-1)κατασκευάζουμε το ερώτημα.
Αν η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο χ=1 το μηδέν βρείτε το α.
Θα βρούμε α=1 ή α=-1. Πρέπει να γίνει ο σχετικός έλεγχος και να γίνει δεκτή μόνο η τιμή α=1.

Γιώργος

[k-ser]

Κώστα σου είναι εύκολο να προσαρμόσεις την εκφώνηση της άσκησης των πανελληνίων , επάνω στο αντιπαράδειγμά σου;

Χρήστο, Όχι. Είναι ένα λάθος αντιπαράδειγμα! Αν θεωρήσω δεδομένο ότι η f έχει μέγιστο στη θέση χ=1 τότε δεν μπορεί να έχει μέγιστο σε θέση διαφορετική του 2κ+1, με κ ακέραιο. Τώρα, εφόσον η f έχει μέγιστο στη θέση χ=1, θα έχει μέγιστο σε όλες τις θέσεις 2κ+1 και μόνον σ' αυτές και μάλιστα η τιμή του α θα είναι, σε όποια θέση και να θεωρήσουμε το μέγιστο, η ίδια.

Αυτό δεν είναι κάτι παράξενο - σύμφωνα με τον αγαπημένο φίλο μου Αντώνη, (τον καλοπιάνω!), είναι και απλό και - το σημαντικότερο: ΑΠΟΔΕΙΚΝΎΕΤΑΙ!

•Έστω τώρα ότι η συνάρτηση έχει ελάχιστο ( γενικότερα, τοπικό ακρότατο) και σε μια άλλη θέση x=ξ, όπου ξ διάφορο του 0 (0 και ξ εσωτερικά σημεία του συνόλου ορισμού της συνάρτησης). Eφαρμόζοντας και πάλι το θεώρημα του Fermat, βρίσκουμε μια τιμή του α συναρτήσει του ξ .Έστω: α=φ(ξ)( εννοείται ότι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε εξασφαλίσει ότι εφαρμόζεται το θεώρημα του Fermat).
1) Αν φ(ξ)=e, τότε δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα.[ Γενικότερα, αν οι ισότητεςf΄(0)=0 και f΄(ξ)=0 είναι συμβιβαστές, δηλαδή δεν οδηγούν σε άτοπο ].
2) Aν φ(ξ) διάφορο του e, τότε τέτοιο ξ δεν υπάρχει, γιατί φθάνουμε σε άτοπο: α=e και α=φ(ξ) διάφορο του e, δηλαδή α διάφορο του e. [ Γενικότερα, αν οι ισότητεςf΄(0)=0 και f΄(ξ)=0 είναι ασυμβίβαστες, δηλαδή οδηγούν σε άτοπο].

Να ζητήσω συγνώμη, από τους συναδέλφους μάλλον τους κούρασα με την καθυστέρησή μου να καταλάβω αυτό που ο Αντώνης λέει: απλό
Βέβαια, ήθελα μια απτή απόδειξη του απλού - πολλές φορές είναι πολύ - πολύ δύσκολη!
Αντώνη σ' ευχαριστώ.

Ανακεφαλαιώνω για να το καταλάβω καλύτερα!

Όταν μια συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο σε κάποιο εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος Δ
και είναι παραγωγίσιμη σ' αυτό τότε θα ισχύει: (1) (Fermat).
Αν τώρα η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο και σε κάποιο άλλο εσωτερικό σημείο του Δ και είναι παραγωγίσιμη σ' αυτό τότε η ισότητα, που προκύπτει από το Fermat, (2) και η (1) είναι ισοδύναμες.

....Απλό είναι!!!

Συνεπώς: Λεωνίδα ...χάσαμε!
Δεν είναι απαραίτητο να εξετάσουμε και να αποκλείσουμε άλλες θέσεις για το ίδιο ακρότατο.
Υπάρχουν - δεν υπάρχουν το ίδιο θα μας δώσουν.

Καλό σας βράδυ.

[chris_gatos]

Κώστα κανείς δεν έχασε! Μάλλον όλοι κερδίσαμε στο maximum... Πάμε για άλλα καλύτερα!

[Cristoforos S.]

Στο 4δ μία μαθήτριά μου κάνει την απόδειξη με Θ.R.(εμφανίζει και αντικαθιστά την G΄(x),
παίρνει αρχική και το αποδεικνύει!).
Έχασε μόνο την απόδειξη!!!

[Cristoforos S.]

Για το θέμα 3Α που συζητάτε (με ενδιαφέρον και πάθος!) μη ξεχνάμε ότι ψάχνουμε απλά
μία άγνωστη παράμετρο α σε μία συνάρτηση f. Για να την υπολογίσουμε μας είναι αρκετή
μία πληροφορία (ελάχιστο στο 0!) η οποία αποδεικνύεται αρκετή για τον υπολογισμό της
ΜΟΝΑΔΙΚΗΣ τιμής του α! Κάθε άλλη πληροφορία, υπάρχει - δεν υπάρχει, μας είναι περιττή
και απλώς θα πρέπει (αν η άσκηση είναι σωστή) να επαληθεύει την τιμή αυτή!
Με όλο το σεβασμό.

[Μπάμπης Στεργίου]

.......................... Κάθε άλλη πληροφορία, υπάρχει - δεν υπάρχει, μας είναι περιττή
και απλώς θα πρέπει (αν η άσκηση είναι σωστή) να επαληθεύει την τιμή αυτή!
Με όλο το σεβασμό.

Να πω συνοπτικά μερικά συμπεράσματα στο ίδιο μήκος κύματος με τον Χριστόφορο :

α) Στο συγκεκριμένο ερώτημα 3.Α,όπως και σε κάθε άλλη περίπτωση που η διατύπωση είναι :'' να αποδείξετε ότι ..'' , η λύση σταματάει με την εύρεση του α = e..
Καμία επαλήθευση δεν απαιτείται ! Θα μπορούσε η άσκηση των πανελληνίων να σταματήσει εκεί. Το γεγονός ότι στα επόμενα ερωτήματα(στο θέμα των πανελλήνιων) γίνεται έμμεσα επαλήθευση της τιμής a=e αποδεικνύει μόνο την ορθότητα της άσκησης αλλά δεν αποτελεί συμπλήρωμα της απόδειξης του Α.

Με αυτό που γράφω θέλω να τονίσω ότι ακόμα και αν η δοσμένη σχέση ήταν
, η ίδια απόδειξη θα τελείωνε στο α = e.
Δεν είναι μέρος της άσκησης να αποδείξει ο λύτης ότι η τιμή αυτή είναι δεκτή.Στην πραγματικότητα , σε αυτή την περίπτωση , η λύση είναι σωστή και πλήρης αλλά η άσκηση λάθος(οπότε την ευθύνη την έχει ο προτείνων και όχι ο λύτης).

β) Αν το ερώτημα ήταν :'' να βρειτε τις τιμές του α , ώστε , τότε τα πράγματα αλλάζουν ! Εδώ έχουμε δύο σκέλη : να βρούμε τις πιθανές τιμές του α(με χρήση της αναγκαίας συνθήκης
και στη συνέχεια να εξετάσουμε αν η τιμή α = e που θα προκύψei(γενικά θα μπορούσαν να είναι και περισσότερες) είναι δεκτές ή όχι.

Υπάρχουν ασκήσεις παρόμοιας μορφής , σαν το 3.Α , που μπορούμε να βρούμε περισσότερες από μία αναγκαίες σχέσεις , οι οποίες μάλιστα μπορούν να δώσουν διαφορετικό πλήθος τιμών για το α η κάθε μία. Ωστόσο όλες αυτές οι αναγκαίες συνθήκες θα δώσουν μία τουλάχιστον κοινή τιμή για το α, αν η άσκηση είναι σωστή(το τονίζω αυτό!). Άς πούμε ότι το ζητούμενο στην άσκηση είναι να αποδειχθεί ότι α = 2 .Αν κάποιος καταφέρει (από τύχη ή ικανότητα ) να βρει εκείνη την αναγκαία συνθήκη που θα του δώσει μόνο μια τιμή για το α ,την α = 2 , αυτός έχει τελειώσει . Αυτός που θα πάρει άλλη αναγκαία συνθήκη και θα βρει δύο τιμές του α( πχ α = e ή α = 2), πρέπει ή να αποκλείσει την τιμή α = e ή να ψάξει να βρεί μια άλλη αναγκαία συνθήκη που να του δώσει πχ α = 2 ή α = 5. ! Τότε θα καταλήξει στο συμπέρασμα ότι τελικά α = 2(διότι την τιμή 2 την βρήκε και δεύτερη φορά) και η απόδειξη τελειώνει(χωρίς επαναλαμβάνω καμία άλλη επαλήθευση !).

Θα μου επιτρέψετε , χωρίς να θέλω να καταχραστώ το χώρο που μας φιλοξενεί , να αναφερθώ ότι για τα παραπάνω έχω γράψει από τον 2006 δύο λυμένες ασκήσεις με τα απαραίτητα σχόλια και όλα τα επίμαχα σημεία στο Γ2, σελίδες 220 - 222. Το ίδιο γίνεται και με την άσκηση 5.71 στη σελίδα 243(που είναι σχεδόν το ίδιο θέμα 3 των φετινών εξετάσεων).Δεν σας κρύβω ότι βασανίστηκα πολύ μέχρι να καταλήξω σε αυτά τα συμπεράσματα , στα οποία με οδήγησαν οι προβληματισμοί που μου έθεσαν τηλεφωνικά συνάδελοι.Με απασχόλησαν επίσης όλοι οι προβληματισμοί του εξαιρετικού συναδέλφου Λεωνίδα Ιωσηφίδη , αλλά κατέληξα σε αυτό που δημόσια έγραψα και ανέφερα παραπάνω.

Είναι χαρά μας να μαθαίνουμε κάθε μέρα κάτι καινούριο , αν είναι δυνατόν . Μετά από τόσα χρόνια στους πίνακες και στις αναζητήσεις, σας εκμυστηρεύομαι πως συναντώ ακόμα στοιχειώδη πράγματα που συχνά με αφήνουν άναυδο ! Και τελικά αυτά τα περίεργα πράγματατα είναι τα μόνα που με ωθούν να ψάξω , να ρωτήσω , να αναθεωρήσω κάποιες ιδέες μου ή να τις συμπληρώσω τις γνώσεις.Τα μαθηματικά σε διδάσκουν μέχρι την τελαυταία μέρα που συνεχίζεις να σκέφτεσαι και σίγουρα αυτό το έχετε καταλάβει όταν δέχεστε απορίες από τους μαθητές σας.
Να φοβάστε μόνο εκείνον που θα σας πεί ότι δεν κάνει ποτέ λάθη και πως τα σχολικά μαθηματικά τα γνωρίζει τέλεια, οπότε δεν χρειάζεται να ακούσει κανενός την γνώμη !

Αυτά για σήμερα και καλό Σαββατοκύριακο !


Μπάμπης

[ΝΛΙ]

Προβληματισμός Λεων. Ιωσηφίδη

Παρακολουθώ τις απαντήσεις στον προβληματισμό του Λεωνίδα.
Θέλω και εγώ να εκφράσω τη δική μου άποψη επειδή γνωρίζω το θέμα πριν ακόμη την ανάρτησή του, από τηλεφωνική επικοινωνία που είχα μαζί του.
Αρχικά θέλω να πω ότι οι περισσότεροι συνάδελφοι ξέφυγαν εντελώς από το θέμα, δηλαδή δεν κατάλαβαν ποιο είναι ακριβώς το θέμα.
Ο Λεωνίδας είπε πολύ απλά ότι η σχέση f΄(0) = 0 ίσως δεν αρκεί για να βρούμε το α. Μπορεί να ισχύει και f΄(x1) =0 με x1 ≠0, οπότε η νέα εξίσωση μπορεί να δώσει διαφορετικό α και γι αυτό χρειάζονται περαιτέρω αιτιολογήσεις, δηλαδή πρέπει να αποδείξουμε τη μοναδικότητα του α που βρήκαμε. Δεν έθεσε θέμα αν η μοναδικότητα του α είναι συνέπεια της σχέσης f΄(0) = 0, ούτε για μίλησε για λάθος αποδείξεις. Μίλησε για παραλείψεις στην απόδειξη. (Ξαναδιαβάστε προσεκτικά το άρθρο του, γιατί έγινε πολύ συζήτηση πάνω σε λάθος βάση).
Ανεξάρτητα αν είναι δυνατό ή όχι να βρούμε δύο διαφορετικές τιμές του α, πρέπει να υπάρξει αιτιολόγηση. Αυτό λέει ο Λεωνίδας.
Ο προβληματισμός του δεν είναι αν η συνήθης λύση είναι σωστή, αλλά αν η αιτιολόγηση που δίνεται στις περιπτώσεις αυτές είναι επαρκής.

Από τη στιγμή που γίνεται τόση συζήτηση για το αν η σχέση f΄(0) = 0 αρκεί ή όχι, είναι απαραίτητη η συμπλήρωση της λύσης και οι σχετικές επεξηγήσεις για να πεισθεί ο καθένας και όχι μόνο οι ειδικοί.

Η παράλειψη της αιτιολόγησης θα σήμαινε ότι αυτό είναι τόσο φανερό ώστε δε χρειάζεται καμία επεξήγηση. Η λογική των συναδέλφων ότι η παραπάνω σχέση αρκεί, δε μας δίνει το δικαίωμα να προσπεράσουμε το σημείο αυτό χωρίς καμία διευκρίνηση. Άλλωστε και αυτοί κάνουν ακριβώς το ίδιο με τον Λεωνίδα, αλλά δικαιολογούν τη μοναδικότητα του α με άλλο τρόπο, πολύ πιο δυσνόητο (με τη μαθηματική λογική). Αυτό φάνηκε από την ευρεία συζήτηση που έγινε πάνω στο θέμα. Με τη λογική των συναδέλφων, σε κάθε πρόβλημα που ζητείται να αποδειχθεί κάτι, μπορούμε να παραλείπουμε ολόκληρη την απόδειξη και να γράφουμε απευθείας το συμπέρασμα, αφού αυτό μπορεί να προκύψει, είναι δηλαδή συνέπεια των δεδομένων. Πως θα φαίνονταν όμως η λύση του θέματος αν κάποιος μαθητής δεν αποδείκνυε την καμπυλότητα (που ζητείται παρακάτω) επειδή και αυτή προκύπτει;

Να προσθέσω ακόμη ότι το θέμα τέθηκε καθαρά σε επιστημονική βάση και για βαθμολόγηση των μαθητών δεν έκανε ο Λεωνίδας καμία νύξη.

Τελικά δεν κατάλαβα τι λάθος έκανε ο Λεωνίδας ή που έχει άδικο όπως έγραψαν μερικοί συνάδελφοι.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ (δικό μου):
Ο προβληματισμός του Λεωνίδα είναι απόλυτα αιτιολογημένος και οι λύσεις που δεν αποδεικνύουν τη μοναδικότητα του α πρέπει να θεωρούνται ελλιπείς.

Νικ. Ιωσηφίδης
Μαθηματικός – Φροντιστής, Βέροια
e-mail: iossifid@yahoo.gr
τηλ. 23310-20143, κιν: 6974-641-655

[nsmavrogiannis]

Αξίζει τον κόπο να γραφούν για το θέμα αυτό τόσα μηνύματα;
Λοιπόν Κώστα. Αρνούμαι να γράψω έστω και μια γραμμή ακόμα για το θέμα αυτό. Έχουμε τόσα άλλα ωραία πράγματα να πούμε.

Αντώνη συμφωνώ απολύτως.
Αλλά διάλογο κάνουμε. Εννοείται ότι αυτός ο διάλογος δεν έχει να κάνει με την βαθμολογηση. H συνήθης λύση (εντοπισμός ακροτάτου, Fermat, εύρεση του είναι βαθμολογικά πλήρης. Ουδείς μπορεί να ισχυρισθεί το αντίθετο και οι μαθητές μας μπορούν να κοιμούνται ήσυχοι. Ωστόσο, διότι στην βαθμολόγηση δεν κάνουμε μαθηματικές εκπτώσεις, είναι και μαθηματικά πλήρης. 'Ηδη έχουν δοθεί επαρκέστετες εξηγήσεις από συναδέλφους που προηγήθηκαν. Οι οποίες μιας και είναι μεταξύ μαθηματικών η συζήτηση φυσικά χρησιμοποίησαν, τι άλλο, μαθηματικά επιχειρήματα. Θα ήθελα να προσθέσω και ένα ακόμη δίνοντας ίσως και μία άλλη οπτική χρήσιμη και στην διδασκαλία του θέματος. Αν υπάρχει επικάλυψη με κάποιο άλλο μήνυμα και δεν το είδα συγχωρέστε με.

'Εχουμε μία οικογένεια συναρτήσεων . Η εκφώνηση μας πληροφορεί (άρα είναι δεδομένο) ότι κάποια από αυτές (διότι περί αυτού πρόκειται) έχει την γραφική της παράσταση πάνω από την . Βρίσκουμε ότι για αυτήν ένα από τα σημεία της αντιστοιχεί σε θέση ελαχίστου της. Από εκει βρίσκουμε το άρα και για ποιά πρόκειται: Πρόκειται για την συνάρτηση . Και μόνο για αυτή άρα και μόνο για αυτό το .

Ειλικρινά δεν καταλαβαίνω που υπάρχει το ζήτημα.
Μαυρογιάννης

[hsiodos]

Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη σε διάστημα Δ στον τύπο της οποίας υπάρχει παράμετρος α.
Δίνεται ότι στα εσωτερικά σημεία του Δ , η f παρουσιάζει ακρότατα(ολικά ή τοπικά).
Με δεδομένο ότι τα παραπάνω είναι υπαρκτά(σωστή άσκηση)
Ερώτηση προς τους φίλους Νίκο και Λεωνίδα Ιωσηφίδη

Οι ισότητες

f΄() = f΄() = ... = f΄() = 0 είναι συμβιβαστές ή όχι;
Δηλαδή υπάρχει τιμή του α που τις καθιστά όλες αληθείς ή όχι;

ΥΓ. Προσωπικά απαντώ ναι στο παραπάνω ερώτημα και επομένως δεν είναι δυνατόν να εικάζω ότι για κάποιο άλλο x_o
με f΄() = 0 θα βρώ διαφορετική τιμή του α .

Φιλικά

Γιώργος

[papel]

Τα ακρότατα θα αντιστοιχούν στην συγκεκριμένη τιμή του α και μονο για αυτη . Ειναι δυνατον για διαφορετικη τιμη του α τα ιδια σημεια να δινουν τα ιδια ακροτατα (?)

[nsmavrogiannis]

είναι συμβιβαστές ή όχι;

Μα φυσικά Γιώργο. Είναι κάτι που το ξέρουμε "από χέρι". Αυτό λέει ο Α. Κυριακόπουλος τόσες μέρες. Με άλλα λόγια: Αν από μία αληθή υπόθεση με έγκυρο συλλογισμό καταλήξουμε σε ένα συμπέρασμα (εδώ ) αυτό το συμπέρασμα δεν μπορεί να ανατραπεί από οποιοδήποτε άλλο έγκυρο συλλογισμό. Και τούτο διότι, υποθέτουμε διότι δεν αποδεικνύεται, ότι το σύστημα που δουλεύουμε είναι ελεύθερο αντιφάσεων. Καήκαμε αν ήταν διαφορετικά.
Για την εικονογράφηση του προηγουμένου μηνύματος μου στέλνω και μία παράσταση της οικογένειας που ίσως δώσει κάποιες ιδέες για την διδασκαλία του θέματος αυτού.
Μπλε: Τα μέλη της οικογένειας με
Πράσινο: Τα μέλη της οικογένειας με
Κόκκινο: Το μέλος της οικογένειας με . Φυσικά το μοναδικό που γραφική του παράσταση είναι πάνω από την

3A.png (112.63 KiB) Προβλήθηκε 1342 φορές

Μαυρογιάννης

[Α.Κυριακόπουλος]

Προβληματισμός Λεων. Ιωσηφίδη

Παρακολουθώ τις απαντήσεις στον προβληματισμό του Λεωνίδα.
Θέλω και εγώ να εκφράσω τη δική μου άποψη επειδή γνωρίζω το θέμα πριν ακόμη την ανάρτησή του, από τηλεφωνική επικοινωνία που είχα μαζί του.
Αρχικά θέλω να πω ότι οι περισσότεροι συνάδελφοι ξέφυγαν εντελώς από το θέμα, δηλαδή δεν κατάλαβαν ποιο είναι ακριβώς το θέμα.
Ο Λεωνίδας είπε πολύ απλά ότι η σχέση f΄(0) = 0 ίσως δεν αρκεί για να βρούμε το α. Μπορεί να ισχύει και f΄(x1) =0 με x1 ≠0, οπότε η νέα εξίσωση μπορεί να δώσει διαφορετικό α και γι αυτό χρειάζονται περαιτέρω αιτιολογήσεις, δηλαδή πρέπει να αποδείξουμε τη μοναδικότητα του α που βρήκαμε. Δεν έθεσε θέμα αν η μοναδικότητα του α είναι συνέπεια της σχέσης f΄(0) = 0, ούτε για μίλησε για λάθος αποδείξεις. Μίλησε για παραλείψεις στην απόδειξη. (Ξαναδιαβάστε προσεκτικά το άρθρο του, γιατί έγινε πολύ συζήτηση πάνω σε λάθος βάση).
Ανεξάρτητα αν είναι δυνατό ή όχι να βρούμε δύο διαφορετικές τιμές του α, πρέπει να υπάρξει αιτιολόγηση. Αυτό λέει ο Λεωνίδας.
Ο προβληματισμός του δεν είναι αν η συνήθης λύση είναι σωστή, αλλά αν η αιτιολόγηση που δίνεται στις περιπτώσεις αυτές είναι επαρκής.

Από τη στιγμή που γίνεται τόση συζήτηση για το αν η σχέση f΄(0) = 0 αρκεί ή όχι, είναι απαραίτητη η συμπλήρωση της λύσης και οι σχετικές επεξηγήσεις για να πεισθεί ο καθένας και όχι μόνο οι ειδικοί.

Η παράλειψη της αιτιολόγησης θα σήμαινε ότι αυτό είναι τόσο φανερό ώστε δε χρειάζεται καμία επεξήγηση. Η λογική των συναδέλφων ότι η παραπάνω σχέση αρκεί, δε μας δίνει το δικαίωμα να προσπεράσουμε το σημείο αυτό χωρίς καμία διευκρίνηση. Άλλωστε και αυτοί κάνουν ακριβώς το ίδιο με τον Λεωνίδα, αλλά δικαιολογούν τη μοναδικότητα του α με άλλο τρόπο, πολύ πιο δυσνόητο (με τη μαθηματική λογική). Αυτό φάνηκε από την ευρεία συζήτηση που έγινε πάνω στο θέμα. Με τη λογική των συναδέλφων, σε κάθε πρόβλημα που ζητείται να αποδειχθεί κάτι, μπορούμε να παραλείπουμε ολόκληρη την απόδειξη και να γράφουμε απευθείας το συμπέρασμα, αφού αυτό μπορεί να προκύψει, είναι δηλαδή συνέπεια των δεδομένων. Πως θα φαίνονταν όμως η λύση του θέματος αν κάποιος μαθητής δεν αποδείκνυε την καμπυλότητα (που ζητείται παρακάτω) επειδή και αυτή προκύπτει;

Να προσθέσω ακόμη ότι το θέμα τέθηκε καθαρά σε επιστημονική βάση και για βαθμολόγηση των μαθητών δεν έκανε ο Λεωνίδας καμία νύξη.

Τελικά δεν κατάλαβα τι λάθος έκανε ο Λεωνίδας ή που έχει άδικο όπως έγραψαν μερικοί συνάδελφοι.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ (δικό μου):
Ο προβληματισμός του Λεωνίδα είναι απόλυτα αιτιολογημένος και οι λύσεις που δεν αποδεικνύουν τη μοναδικότητα του α πρέπει να θεωρούνται ελλιπείς.

Νικ. Ιωσηφίδης
Μαθηματικός – Φροντιστής, Βέροια
e-mail: iossifid@yahoo.gr
τηλ. 23310-20143, κιν: 6974-641-655

Αγαπητέ φίλε Νίκο Ιωσηφίδη.
Στο προηγούμενο μήνυμά μου ,σχετικά με αυτά που λέει ο Λεωνίδας , έγραψα: «Αρνούμαι να γράψω έστω και μια γραμμή ακόμα για το θέμα αυτό». Αλλά μου είναι αδύνατον να μην απαντήσω στο μήνυμα σου με θέμα: « Προβληματισμός του Λεωνίδα Ιωσηφίδη», γιατί με αυτά που γράφεις «περνάς» λανθασμένα μηνύματα και λανθασμένους τρόπους αντιμετώπισης των μαθηματικών( καλά λένε: «ποτέ μη λες ποτέ». Έχεις δίκιο αγαπητέ φίλε Νίκο Μαυργιάννη ).
1) Γράφεις: « Ο Λεωνίδας είπε πολύ απλά ότι η σχέση f΄(0)=0 ίσως δεν είναι αρκετή για να βρούμε το α» και παρακάτω γράφεις: «…, δηλαδή πρέπει να αποδείξουμε την μοναδικότητα του α που βρήκαμε». Το θέμα 3Α δεν λέει να βρούμε κανένα α. Λέει να αποδείξετε μια σχέση που περιέχει το α, δηλαδή ότι α=e. Θα μπορούσε να λέει να αποδείξετε ότι: α-e=0 ( ή σε άλλες περιπτώσεις κάτι άλλο). Από το θεώρημα του Fermat βρίσκουμε ότι f΄(0)=0, από την οποία συνεπάγεται η σχέση που ζητάμε, δηλαδή ότι: α=e. Kαι εδώ τελειώνει η λύση του θέματος 3Α ( το έχω ξαναγράψει) και δεν χρειάζεται απολύτως τίποτα άλλο, αφού αποδείξαμε αυτό που μας ζητούσαν. Είναι προφανές ότι οι παραπάνω ισχυρισμοί του Λεωνίδα δεν είναι σωστοί.
2) Δεν υπάρχει καμία παράλειψη στην απόδειξη και δεν χρειάζεται να ξαναδιαβάσουμε προσεκτικά το άρθρο του Λεωνίδα, όπως λες, γιατί έχουμε καταλάβει πολύ καλά τι λέει. Μάλλον εσύ και ο Λεωνίδας πρέπει να ξαναδιαβάσετε προσεκτικά το θέμα 3Α.
3) Γράφεις: « Ανεξάρτητα αν είναι δυνατόν ή όχι να βρούμε δύο διαφορετικές τιμές του α, πρέπει να υπάρξει αιτιολόγηση. Αυτό λέει ο Λεωνίδας». Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι αυτό ακριβώς είναι το λάθος του Λεωνίδα. Τι να αιτιολογήσουμε; Αφού αποδείξαμε αυτό που μας ζητούσαν δεν τελειώσαμε; Οτιδήποτε άλλο προσθέσουμε, όχι μόνο θα είναι λάθος, αλλά θα δείχνει ότι δεν έχουμε κατανοήσει την έννοια της απόδειξη στα μαθηματικά.
4) Δεν προσπερνάμε κανένα σημείο χωρίς καμία διευκρίνιση, όπως λες. Και τα μηνύματα που έστειλα εγώ και οι άλλοι συνάδελφοί,έχουν σκοπό να διευκρινίσουν ότι στη λύση του θέματος 3Α δεν χρειάζεται καμία άλλη… διευκρίνιση. Από που έως που κάνουμε ακριβώς το ίδιο με τον Λεωνίδα ,όπως λες;
5) Αν ο Λεωνίδας και οποιοσδήποτε άλλος από εμάς, δεν χρησιμοποιεί την Μαθηματική Λογική για να δικαιολογήσει κάτι στα μαθηματικά, τότε απλά δεν κάνει μαθηματικά.
6) Η ευρεία συζήτηση που γίνεται πάνω στο θέμα αυτό έχει σκοπό να βάλουμε τα πράγματα στη θέση τους , ώστε να μην «περνάνε» λανθασμένα μηνύματα και λανθασμένοι τρόποι αντιμετώπισης των μαθηματικών.
Με εκτίμηση.

[lehrer]

Ας υποθέσουμε ότι το θέμα δίνονταν ως εξής :
Δίνεται η συνάρτηση
f(x)=(x-α)^2+1 και f(0)=1
Α ) Αν ισχύει f(x)>=1 να δειχτεί ότι α=0

Ερώτηση : Είναι το α μοναδικό; Ή μήπως είναι άπειρα;

[Cristoforos S.]

Ας υποθέσουμε ότι το θέμα δίνονταν ως εξής :
Δίνεται η συνάρτηση
f(x)=(x-α)^2+1 και f(0)=1
Α ) Αν ισχύει f(x)>=1 να δειχτεί ότι α=0

Ερώτηση : Είναι το α μοναδικό; Ή μήπως είναι άπειρα;

Προφανώς είναι μοναδικό, αφού f(0) = 1 συνεπάγεται α = 0!!!
Χωρίς αυτή την αρχική συνθήκη προφανώς θα είχα άπειρες λύσεις για το α
αφού η συνάρτηση θα παρουσίαζε ακρότατο στο α και το Θ.F. f΄(α) = 0 θα
μας έδινε μία ταυτότητα!

[lehrer]

Σωστός. Ας δούμε τώρα ξανά το θέμα χωρίς την αρχική συνθήκη όπως δίνονταν στις εξετάσεις.
Δίνεται η συνάρτηση
f(x)=(x-α)^2+1
Α ) Αν ισχύει f(x)>=1 να δειχτεί ότι α=0

Ερώτηση : Είναι το α μοναδικό; Ή μήπως είναι άπειρα;

[ENIALIS]

Ας υποθέσουμε ότι το θέμα δίνονταν ως εξής :
Δίνεται η συνάρτηση
f(x)=(x-α)^2+1 και f(0)=1
Α ) Αν ισχύει f(x)>=1 να δειχτεί ότι α=0

Ερώτηση : Είναι το α μοναδικό; Ή μήπως είναι άπειρα;

Προφανώς είναι μοναδικό, αφού f(0) = 1 συνεπάγεται α = 0!!!
Χωρίς αυτή την αρχική συνθήκη προφανώς θα είχα άπειρες λύσεις για το α
αφού η συνάρτηση θα παρουσίαζε ακρότατο στο α και το Θ.F. f΄(α) = 0 θα
μας έδινε μία ταυτότητα!

Αυτό είναι και ένα ωραίο, απλούστερο παραδειγμα για όλη την κουβέντα. Αφού βρει κάποιος ότι f(0) = 1 συνεπάγεται α = 0, θα ένιωθε και την ανάγκη να δει και τι δινει το θ.F για το ακρότατο, μήπως δίνει άλλη τιμή? Δεν νομιζω.

[ENIALIS]

Σωστός. Ας δούμε τώρα ξανά το θέμα χωρίς την αρχική συνθήκη όπως δίνονταν στις εξετάσεις.
Δίνεται η συνάρτηση
f(x)=(x-α)^2+1
Α ) Αν ισχύει f(x)>=1 να δειχτεί ότι α=0

Ερώτηση : Είναι το α μοναδικό; Ή μήπως είναι άπειρα;

Ωραια, εδώ το Fermat ή η "απλη λογικη" δεν δινει καποια συνθηκη για το α, η για να το πω αλλιως η αναγκαια συνθηκη ειναι οτι το α ειναι οποισδηποτε πραγματικος.
Αυτο δεν εχει καμια σχεση με το αντιστοιχο θεμα των εξετασεων, οπου η αναγκαια συνθηκη για το α ηταν αλλη.
Αν μια αναγκαια συνθηκη δινει πολλες τιμες, τοτε βρισκεις και αλλες συνθηκες, βρισκεις που συναληθευουν και αυτες ειναι οι τιμες του α. Αν εχεις μια μονο τιμη, τι να συναληθευσεις

Και για να το πω και διαφορετικα, ας το παμε στα συστηματα
Στο παρακατω συστημα,που μας εχουν διαβεβαιωσει οτι ειναι συμβιβαστο-αυτο ειναι ισοδυναμο με το οτι το θεμα των εξετασεων ειναι σωστο-τι κανουμε?


Το x καθοριζεται απο την πρωτη εξίσωση μονοσήμαντα και τελειωσαμε, ή βάζουμε στο λογαριασμο και τις αλλες λύσεις?