Ανισότητα με ακεραίους

#1

Αν

μη μηδενικοί ακέραιοι, διαφορετικοί ανά δύο και τέτοιοι ώστε ab + ac + bc + 3 = abc > 0,

να δείξετε ότι

$\ \ \ \ \ \ \ \ (a-1)(b-1)+(a-1)(c-1)+(b-1)(c-1) \geq 6.$

#2

Ας τη φέρουμε στην επικαιρότητα...

#3

Αν θυμάμαι σωστά, η άσκηση είναι από διαγωνισμό στην Πολωνία...

Ορέστης Λιγνός · #4

socrates έγραψε: Κυρ Ιούλ 03, 2011 7:16 pm Αν μη μηδενικοί ακέραιοι, διαφορετικοί ανά δύο και τέτοιοι ώστε

να δείξετε ότι

$\ \ \ \ \ \ \ \ (a-1)(b-1)+(a-1)(c-1)+(b-1)(c-1) \geq 6.$

Νομίζω ότι μπορούμε να βρούμε και όλες τις τριάδες ακεραίων ώστε ab+bc+ca+3=abc>0

.

Καταρχήν, έστω WLOG a<b<c

. Έχω ότι

, άρα είτε a,b,c>0

, είτε δύο από τους a,b,c

είναι αρνητικοί και ο ένας θετικός.

Περίπτωση 1: Είναι a,b,c>0

. Γράφω τη δοσμένη ως $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{3}{abc}=1$ .

Αν κάποιος από τους a,b,c

είναι

, τότε θα είχαμε εύκολα άτοπο (αν π.χ. $a=1 \Rightarrow 1/b+1/c+3/bc=0$ ).
Άρα, $c>b>a \geqslant 2$ .

$\rightarrow$ Αν $a \geqslant 3$ , τότε $b \geqslant 4$ , και $c \geqslant 5$ , άρα $1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{3}{abc} \leqslant \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{60}<1$ , άτοπο.

$\rightarrow$ Αν πάλι a=2

, τότε έχω $\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{3}{2bc}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow (b-2)(c-2)=7$ , οπότε, αφού c>b>2

, είναι $b-2=1, \, c-2=7$ , που δίνει (a,b,c)=(2,3,9)

.

Περίπτωση 2: Είναι a,b<0

και

(αν

τότε

και

, άτοπο, ενώ αν b>0

τότε

άτοπο. Άρα αναγκαστικά a,b<0

).

Έστω a=-a',b=-b'

με

και

.

Η

, δίνει

.

Όμως, είναι $a'b'+3=c(a'+b'+a'b') \geqslant a'+b'+a'b' \geqslant a'b'+3$ , καθώς $a' \geqslant 1$ , και $b' \geqslant a'+1 \geqslant 2$ .

Άρα, έχω παντού ισότητα, οπότε c=1, a'=1,b'=2

, δηλαδή

.

Οι δύο τριάδες που βρήκα, δηλαδή οι (a,b,c)=(2,3,9)

και

(προφανώς και οι αναδιατάξεις αυτών), ικανοποιούν την προς απόδειξη ανισότητα.

#5

Σωστά Ορέστη! Με μερικές ακόμα τετριμμένες περιπτώσεις βρίσκουμε όλες τις ακέραιες λύσεις τη εξίσωσης ab + ac + bc + 3 = abc .

Ανισότητα με ακεραίους

Ανισότητα με ακεραίους

Re: Ανισότητα με ακεραίους

Re: Ανισότητα με ακεραίους

Re: Ανισότητα με ακεραίους

Re: Ανισότητα με ακεραίους

Μέλη σε σύνδεση