Riemmann ολοκλήρωμα

#1

Αν η φραγμένη συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ είναι Riemmann ολοκληρώσιμη, να εξεταστεί αν αληθεύει η πρόταση:

Το σύνολο $\displaystyle{A=\{\int_c^df(x)dx / c,d \in [a,b]\}$ είναι ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα.

alex_eske · #2

s.kap έγραψε:Αν η φραγμένη συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ είναι Riemmann ολοκληρώσιμη, να εξεταστεί αν αληθεύει η πρόταση:

Το σύνολο $\displaystyle{A=\{\int_c^df(x)dx / c,d \in [a,b]\}$ είναι ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα.

Αληθεύει:

Αφού η f είναι φραγμένη και Riemann ολοκληρώσιμη, η συνάρτηση $F:[a,b] \to \mathbb{R}$ με $F(x)=\int_a^xf(t)dt, x \in [a,b]$ είναι συνεχής, άρα υπάρχουν m,M στο R ώστε F([a,b])=[m,M]

. Είναι:
$\displaystyle{A=\{\int_c^df(x)dx / c,d \in [a,b]\}=\{F(d)-F(c): c,d \in [a,b]\}=F([a,b])-F([a,b])=[m,M]-[m,M]=[m-M,M-m]$ , το οποίο είναι κλειστό και φραγμένο διάστημα στο R.

(Όπου A-B χρησιμοποιώ το: $A-B=\{a-b: a \in A, b \in B\}$ )

Riemmann ολοκλήρωμα

Riemmann ολοκλήρωμα

Re: Riemmann ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση