Ανισότητα με πολλές εφαρμογές

S.E.Louridas · #1

Θεωρούμε την κυρτή συνάρτηση

$f:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R}\;\kappa \alpha \iota \;c,d \in \left[ {a,b} \right].$

Να αποδειχθεί ότι:

$\frac{{f\left( a \right) + f\left( b \right)}} {2} - f\left( {\frac{{a + b}} {2}} \right) \geqslant \frac{{f\left( c \right) + f\left( d \right)}} {2} - f\left( {\frac{{c + d}} {2}} \right).$

S.E.Louridas

Dreamkiller · #2

Εάν υποθέσουμε ότι $c \leq d$ , εύκολα βλέπουμε ότι η τετράδα $\displaystyle \left(b,\frac{c+d}{2},\frac{c+d}{2},a\right)$ μεγιστοποιεί (majorizes) ακριβώς μία εκ των τετράδων $\displaystyle \left(d,\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c \right)$ και $\displaystyle \left(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},d,c \right)$ ώστε με εφαρμογή της ανισότητας Karamata προκύπτει άμεσα το ζητούμενο.

Ανισότητα με πολλές εφαρμογές

Ανισότητα με πολλές εφαρμογές

Re: Ανισότητα με πολλές εφαρμογές

Μέλη σε σύνδεση