Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

#1

Μια παλιά άσκηση που είχα κατασκευάσει. Παρακαλώ πολύ για αναλυτικές λύσεις

.

Δίνονται οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $g: \mathbb{R^*} \rightarrow \mathbb{R}$ ,
για τις οποίες ισχύουν: f^3(x)+f(x)=27x^3

και $\displaystyle{g(x)=\frac{f(x)}{x}}$ .
α) Να δείξετε ότι f(0)=0

.
β) Να δείξετε ότι g(x)>0

, για κάθε $x \neq 0$ .
γ) Αν $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty}g(x)=k}$ , να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός

.
δ) Να βρεθεί (αν υπάρχει) το $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)}$ .
ε) Να μελετηθεί η

ως προς την μονοτονία.
στ) Να δείξετε ότι η

είναι ένα προς ένα, ενώ η

δεν είναι ένα προς ένα.
ζ) Να δείξετε ότι η

είναι περιττή.
η) Να βρείτε την αντίστροφη της

.
θ) Να εξετάσετε αν η

είναι άρτια ή περιττή.
ι) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0}$ .
ια) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}f(x)=f(1)}$ .
ιβ) Να δείξετε ότι η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .
ιγ) Να βρείτε (αν υπάρχει) το $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{lnx}{f(x)}$ .
ιδ) Να βρείτε (αν υπάρχει) το $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -2}\frac{3f^{-1}(x)+10^{\frac{1}{3}}}{x^2-4}$ .

Eukleidis · #2

Για το α)
$\displaystyle{f\left( x \right)\left( {{f^2}\left( x \right) + 1} \right) = 27{x^3}}$
Θέτοντας όπου x το 0 παίρνουμε: $\displaystyle{f\left( 0 \right)\left( {{f^2}\left( 0 \right) + 1} \right) = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0}$ αφού $\displaystyle{{{f^2}\left( 0 \right) + 1 > 0}}$

β) $\displaystyle{g\left( x \right) = \tfrac{{f\left( x \right)}}{x} = \tfrac{{\tfrac{{27{x^3}}}{{{f^2}\left( x \right) + 1}}}}{x} = \tfrac{{27{x^2}}}{{{f^2}\left( x \right) + 1}} > 0,\forall x \ne 0}$

ζ)Πεδίο ορισμού εχει το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .Επίσης $\displaystyle{{f^3}\left( { - x} \right) + f\left( { - x} \right) = - 27{x^3} = - {f^3}\left( x \right) - f\left( x \right) \Rightarrow {f^3}\left( { - x} \right) + {f^3}\left( x \right) = - f\left( { - x} \right) - f\left( x \right)}$ \displaystyle{\displaystyle{ \Rightarrow \left( {f\left( { - x} \right) + f\left( x \right)} \right)\left( {{f^2}\left( x \right) + f\left( { - x} \right)f\left( x \right) + {f^2}\left( { - x} \right)} \right) = - f\left( { - x} \right) - f\left( x \right) \Rightarrow }} $\displaystyle{\left( {f\left( { - x} \right) + f\left( x \right)} \right)\left( {{f^2}\left( x \right) + f\left( { - x} \right)f\left( x \right) + {f^2}\left( { - x} \right) + 1} \right) = 0}$ που σημαίνει πως $\displaystyle{{f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)}}$ αφού $\displaystyle{{{f^2}\left( x \right) + f\left( { - x} \right)f\left( x \right) + {f^2}\left( { - x} \right) + 1 > 0}}$ .

Άρα η f είναι περιττή.

θ) $\displaystyle{g\left( { - x} \right) = \tfrac{{f\left( { - x} \right)}}{{ - x}} = \tfrac{{ - f\left( x \right)}}{{ - x}} = \tfrac{{f\left( x \right)}}{x} = g\left( x \right)}$ . Συνεπώς η g είναι άρτια αφου το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{D = \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)}$ είναι συμμετρικό ως προς το 0.

στ) Έστω $\displaystyle{f\left( x \right) = f\left( y \right) \Rightarrow {f^3}\left( x \right) = {f^3}\left( y \right)}$ . Με πρόσθεση κατα μέλη παίρνουμε πως $\displaystyle{27{x^3} = 27{y^3} \Rightarrow x = y}$ . Άρα η f είναι 1-1.

Η g όπως δείξαμε είναι άρτια, οπότε αποκλείεται να είναι 1-1. Πχ. $\displaystyle{g\left( 5 \right) = g\left( { - 5} \right)}$

ε) Έστω $\displaystyle{x < y}$ . Τότε $\displaystyle{x < y \Rightarrow {x^3} < {y^3} \Rightarrow 27{x^3} < 27{y^3} \Rightarrow {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) < {f^3}\left( y \right) + f\left( y \right)}$ \displaystyle{\displaystyle{ \Rightarrow \left[ {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right]\left[ {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right)f\left( y \right) + {f^2}\left( y \right)} \right] + f\left( x \right) - f\left( y \right) < 0}} $\displaystyle{ \Rightarrow \left[ {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right]\left[ {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right)f\left( y \right) + {f^2}\left( y \right) + 1} \right] < 0 \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( y \right)}$

Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα.

Eukleidis · #3

ι)Είναι $\displaystyle{\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\tfrac{{27{x^3}}}{{{f^2}\left( x \right) + 1}}} \right| \leqslant \left| {27{x^3}} \right| \Rightarrow - \left| {27{x^3}} \right| \leqslant f\left( x \right) \leqslant \left| {27{x^3}} \right|}$ .

Όμως $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| {27{x^3}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} - \left| {27{x^3}} \right| = 0}$ . Άρα απο κριτήριο παρεμβολής είναι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0}$

Eukleidis · #4

Θα βρούμε το σύνολο τιμών της f.

Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση $\displaystyle{f\left( x \right) = y}$ . ή ισοδύναμα την $\displaystyle{{y^3} + y = 27{x^3} \Leftrightarrow {x^3} = \tfrac{{{y^3} + y}}{{27}} \Leftrightarrow x = \left\{ \begin{gathered} \tfrac{{\sqrt[3]{{{y^3} + y}}}}{3},if{\text{ }}y \geqslant 0 \hfill \\ - \tfrac{{\sqrt[3]{{{y^3} - y}}}}{3},if{\text{ }}y < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.}$ Άρα έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{\mathbb{R}}$

Έτσι η αντίστροφη είναι η $\displaystyle{{f^{ - 1}}\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \tfrac{{\sqrt[3]{{{x^3} + x}}}}{3},if{\text{ }}x { \geqslant } 0 \hfill \\ {\text{ - }}\tfrac{{\sqrt[3]{{ - {x^3} - x}}}}{3},if{\text{ }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.}$

Εύχομαι να είμαι σωστός.

ια) Λόγω της συνέχειας που έχει αποδειχθεί παρακάτω από τον ορισμό της προκύπτει ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to } f\left( x \right) = f\left( 1 \right)}$

ΘΕΟΧΑΡΗΣ ΚΙΒΡΑΚΙΔΗΣ · #5

ιβ)

(1) Θέτω όπου χ το χο f^3(xo)+f(xo)=(xo)^3

(2) Αφαιρόντας κατά μέλη $f^3(x)-f^3(xo)+f(x)-f(xo)=27(x^3-xo^3)\Rightarrow (f(x)-f(xo)(f^2(x)+f(x)f(xo)+f^2(xo))+f(x)-f(xo))+f(x)-f(xo)=27(x^3-xo^3)\Rightarrow (f(x)-f(xo))(f^2(x)+f(x)f(xo)+f^2(xo)+1)=27(x^3-xo^3)\Rightarrow f(x)-f(xo)=27(x^3-xo^3)/(f^2(x)+f(x)f(xo)+f^2(xo)+1)$ $\left|f(x)-f(xo) \right|=\left|27(x^3-xo^3)/(f^2(x)+f(x)f(xo)+f^2(xo)+1) \right| \leq \left|27(x^3-xo^3) \right|$ Πέρνοντας το Κροτήριο Παρεμβολης βγαίνει το ζητούμενο

Eukleidis · #6

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{3{f^{ - 1}}(x) + {{10}^{\tfrac{1}{3}}}}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \tfrac{{ - \sqrt[3]{{ - {x^3} - x}} + \sqrt[3]{{10}}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \tfrac{{{x^3} + x + 10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt[3]{{100}} + \sqrt[3]{{10\left( { - {x^3} - x} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( { - {x^3} - x} \right)}^2}}}} \right)}}}$ $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \tfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt[3]{{100}} + \sqrt[3]{{10\left( { - {x^3} - x} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( { - {x^3} - x} \right)}^2}}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \tfrac{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt[3]{{100}} + \sqrt[3]{{10\left( { - {x^3} - x} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( { - {x^3} - x} \right)}^2}}}} \right)}} = \tfrac{{13}}{{ - 4\left( {\sqrt[3]{{100}} + \sqrt[3]{{100}} + \sqrt[3]{{100}}} \right)}}}$

Όποιος μπορεί και θέλει συνεχίζει με τα: γ,δ,ιγ. για να κλεινει η άσκηση.

ΘΕΟΧΑΡΗΣ ΚΙΒΡΑΚΙΔΗΣ · #7

ιγ) $\lim_{x->0^+}lnx/f(x)$ Είναι απροσδιοριστία -00/0 $\lim_{x->0^+}(1/f(x))lnx=-oo$
Για το γ,έχω την παρακάτω σκέψη αλλά δεν προχωράει
Αφού $\lim_{x->-oo}g(x)=k$ και η g(x)=f(x)/x

. Για να ισούται ένα όριο με κλάσμα (που τείνη στο -00) με έναν πραγματικό αριθμό πρέπει ο αριθμητής και ο παρανομαστής να έχουν το ίδιο βαθμό,Άρα πρέπει f(x)=kx

.Είναι σωστή σαν σκέψη?
Φιλικά,Χαρης

#8

Θεοχάρη καλησπέρα!
Αν αναλογιστείς πως στην ουσία προϋποθέτεις πως η συνάρτηση $\displaystyle{ f }$ είναι υποχρεωτικά πολυώνυμο,θα καταλάβεις αν αυτό που σκέφτηκες είναι σωστό ή λανθασμένο.
Καλό απόγευμα!

Pla.pa.s · #9

γ) Για

$\displaystyle{f^{3}(x)+f(x)=27x^{3}\Leftrightarrow \left(\frac{f(x)}{x}\right)^{3}+\frac{\left(\frac{f(x)}{x}\right)}{x^{2}}=27\Rightarrow \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\left(\frac{f(x)}{x}\right)^{3}+\frac{\left(\frac{f(x)}{x}\right)}{x^{2}}\right)=27\Rightarrow k^{3}+0k=27\Rightarrow k=3}$
δ) Επειδή η

είναι άρτια είναι

$\displaystyle{k=\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=\lim_{u\rightarrow +\infty}g(-u)=\lim_{u\rightarrow +\infty}g(u)}=3$

ΘΕΟΧΑΡΗΣ ΚΙΒΡΑΚΙΔΗΣ έγραψε:ιγ) $\lim_{x->0^+}lnx/f(x)$ Είναι απροσδιοριστία -00/0 $\lim_{x->0^+}(1/f(x))lnx=+oo$

ιγ) Χάρη, η σκέψη είναι σωστή, νομίζω όμως ότι το πρόσημο είναι διαφορετικό. Επίσης δεν χρειάζεται να λέμε απροσδιοριστία αφού η μορφή $\frac{-\infty}{0}$ μας είναι γνωστή εδώ. Συγκεκριμένα επειδή είναι μορφή $\displaystyle{\frac{-\infty}{0}}$ και η συνάρτηση του παρονομαστή είναι θετική κοντά στο 0 (αφού πρόκειται για το όριο από δεξιά, όπου η f είναι θετική) πρόκειται τελικά για μορφή $(-\infty)(+\infty)$ και τελικά $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{lnx}{f(x)}=-\infty}$ .

Ένα παράδειγμα που μου ήρθε στο σχόλιο του κου Κυριαζή είναι η $\displaystyle{g(x)=\frac{ln|x| + 3x}{x}}$ που τό όριο της στο $- \infty$ είναι πραγματικός αριθμος (συγκεκριμένα 3) χωρίς όμως να μπορούμε να πούμε ότι ln|x|+3x=kx

.

Υ.Γ. Αν τα παραπάνω είναι σωστά, τότε απαντήθηκαν πια όλα τα ερωτήματα και για αυτό προτείνω ακόμη ένα - αν δεν έχει αντίρρηση ο κύριος Πρωτοπαπάς - που θα μπορούσε να είχε τεθεί πριν το (α).

-Να δειχθεί ότι υπάρχει συνάρτηση

τέτοια ώστε $f^{3}(x)+f(x)=27x^{3}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb R}$ .

#10

Pla.pa.s έγραψε:
Υ.Γ. Αν τα παραπάνω είναι σωστά, τότε απαντήθηκαν πια όλα τα ερωτήματα και για αυτό προτείνω ακόμη ένα - αν δεν έχει αντίρρηση ο κύριος Πρωτοπαπάς - που θα μπορούσε να είχε τεθεί πριν το (α).

-Να δειχθεί ότι υπάρχει συνάρτηση τέτοια ώστε $f^{3}(x)+f(x)=27x^{3}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb R}$ .

Πολύ καλό ερώτημα αυτό!Θέλει αρκετό ''σκάψιμο'' όμως!

johnmad · #11

γ)
$\displaystyle{\begin{array}{l} f\left( x \right)\left( {{f^2}\left( x \right) + 1} \right) = 27{x^3} \Rightarrow \\ \frac{{f(x)}}{x}(\frac{{{f^2}(x)}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}) = 27 \Rightarrow \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f(x)}}{x}(\frac{{{f^2}(x)}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 27 \Rightarrow \\ \kappa ({\kappa ^2} + 0) = 27 \Rightarrow \\ {\kappa ^3} = 27 \Rightarrow \kappa = 3 \\ \end{array}}$

edit... μέχρι να το γράψω, πέρασε πολύ ώρα...

GMANS · #12

Ας προσπαθήσω να «σκάψω» λοιπόν Χρήστο….

Για κάθε

$x_1,x_2\epsilon R:f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow$
$\begin{Bmatrix} f(x_1)=f(x_2)& & \\ f^3(x_1)=f^3(x_2)& & \end{Bmatrix}$
$\Rightarrow f^3(x_1)+f(x_1)=f^3(x_2)+f(x_2)\Rightarrow 27x^3_1=27x^3_2\Rightarrow x_1=x_2$

Επομένως f «1-1» δηλαδή υπάρχει η αντίστροφη της f

Στην δοσμένη σχέση θέτω όπου χ το f^-^1(x)

Οπότε
$x^3+x=27(f^-^1(x))^3 \Rightarrow$

$f^-^1(x)=\begin{Bmatrix} \frac{1}{3}\sqrt[3]{x^3+x},x\geq 0 & & \\ -\frac{1}{3}\sqrt[3]{-x^3-x},x<0& & \end{Bmatrix}$
Επομένως υπάρχει η συνάρτηση f (μοναδική) και είναι η αντίστροφη της f^-^1

Όπως μου μήνυσε ο Βασίλης ( mathxl ) με πμ ,τον οποίο και ευχαριστώ Η παραπάνω λύση έχει πρόβλημα μια και αποδεικνύω την ύπαρξη της f θεορόντας την δεδομένη
Την λύση την αφήνω για προβληματισμό

#13

Γειά σου Γιώργο!
Ναι έχεις απόλυτο δίκιο,ήταν πιό απλό απ'όσο νόμιζα αφού και πιό πάνω ο έτερος Γιώργος είχε προσδιορίσει την αντίστροφη συνάρτηση.
Να είσαι καλά!

#14

Pla.pa.s έγραψε: δ) Επειδή η είναι άρτια είναι

$\displaystyle{k=\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=\lim_{u\rightarrow +\infty}g(-u)=\lim_{u\rightarrow +\infty}g(u)}=3$

Καλησπέρα.

Νομίζω ότι και υπάρχει ένα ουσιώδες λάθος. Στο (δ) ερώτημα δεν θεωρείται γνωστό το δεδομένο του (γ) ερωτήματος. Οπότε πάμε ξανά ...

Πάντως χαίρομαι για την κουβέντα που προκάλεσε

.

Ανακεφαλαιώνοντας εκρεμμεί το (δ) και θέλει διόρθωση το (ιγ).

Όποιος έχει να προτείνει και άλλα ενδιαφέροντα ερωτήματα, προφανώς είναι ευπρόσδεκτος.

#15

GMANS έγραψε:
Όπως μου μήνυσε ο Βασίλης ( mathxl ) με πμ ,τον οποίο και ευχαριστώ Η παραπάνω λύση έχει πρόβλημα μια και αποδεικνύω την ύπαρξη της f θεορόντας την δεδομένη
Την λύση την αφήνω για προβληματισμό

Τελικά η αρχική μου σκέψη περί σκαψίματος,είχε βάση.Μετά χάρηκα που είδα την απλή σκέψη και κατάληξη του Γιώργου,αλλά
δεν είναι όλα ρόδινα σε αυτήν τη ζωή!
Ευχαριστούμε Bill!

Pla.pa.s · #16

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
Pla.pa.s έγραψε: δ) Επειδή η είναι άρτια είναι

$\displaystyle{k=\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=\lim_{u\rightarrow +\infty}g(-u)=\lim_{u\rightarrow +\infty}g(u)}=3$
Καλησπέρα.

Νομίζω ότι και υπάρχει ένα ουσιώδες λάθος. Στο (δ) ερώτημα δεν θεωρείται γνωστό το δεδομένο του (γ) ερωτήματος. Οπότε πάμε ξανά ...

Πάντως χαίρομαι για την κουβέντα που προκάλεσε .

Ανακεφαλαιώνοντας εκρεμμεί το (δ) και θέλει διόρθωση το (ιγ).

Όποιος έχει να προτείνει και άλλα ενδιαφέροντα ερωτήματα, προφανώς είναι ευπρόσδεκτος.

Για το (δ) έχω μια σκέψη αλλά πηγαίνει μέσω Θεσσαλονίκης και η λύση του Θεοχάρη από κάτω είναι σαφώς κομψότερη.
(Εξάλλου ήταν σίγουρο ότι θα έβγαινε 3, διότι αν δεν έβγαινε , τότε επειδή η

είναι άρτια, το όριο της στο $-\infty$ δεν θα ήταν 3 κι άρα το ερώτημα (γ) δεν θα έστεκε

).

Δεν βλέπω που είναι το λάθος στο (ιγ). Μπορείτε μήπως να δώσετε κάποια επεξήγηση;

ΘΕΟΧΑΡΗΣ ΚΙΒΡΑΚΙΔΗΣ · #17

δ)Με x>0 η $f^3(x)+f(x)=27x^3\Rightarrow f(x)(f^2(x)+1)=27x^3>0$ Άρα f(x)>0
H f^3(x)+f(x)=3x^3

μας δίνει ότι 1)0<f(x)< 27x^3

και

$0<f^3(x)<27x^3\Rightarrow0<(f(x)/x)<3$
και τελικά
0<g(x)<3

$g^3(x)+g(x)/(x^2)=27\Rightarrow 0<27-g^3(x)<27/x^2\Rightarrow 27-27/x^2<g^3(x)<27$ Παίρνοντας τα όρια στο +00 $\lim_{x->+00}g^3(x)=27Rightarrow \lim_{x->+00}g(x)=3$
Ευχαριστώ τον chris_gatos

#18

Θεοχάρη σε καλό δρόμο είσαι..
Εμφάνισε τη $\displaystyle{ g }$ στον τύπο και σε αυτό που έβγαλες διαίρεσε με $\displaystyle{ x^2 }$ και πάρε όρια στο άπειρο...
Δεν είναι ωραίο αυτό που κάνω αλλά σου δίνω μία ώθηση.

Pla.pa.s · #19

Με βάση την ενθάρρυνση του κου Πρωτοπαπά, προσθέτω τα εξής ερωτήματα.
1)Να βρεθεί το $g(\mathbb R^{*})$ .
2)Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των f,g

.
και το τρίτο το καλύτερο
3)Να δειχθεί ότι η

είναι παραγωγίσιμη και να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η

.
Επίσης να υπενθυμίσω το πρώτο ερώτημα "Να δειχθεί ότι υπάρχει μια τέτοια συνάρτηση

για την οποία ισχύει η κύρια σχέση του προβλήματος".

Edit: Διόρθωσα το πρώτο ερώτημα μετά την από κάτω παρατήρηση του chris τον οποίο και ευχαριστώ.

chris · #20

Pla.pa.s έγραψε:Με βάση την ενθάρρυνση του κου Πρωτοπαπά, προσθέτω τα εξής ερωτήματα.
1)Να βρεθούν τα $f(\mathbb R)$ και $g(\mathbb R^{*})$ .
2)Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των .
και το τρίτο το καλύτερο
3)Να δειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιμη και να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η .
Επίσης να υπενθυμίσω το πρώτο ερώτημα "Να δειχθεί ότι υπάρχει μια τέτοια συνάρτηση για την οποία ισχύει η κύρια σχέση του προβλήματος".

Αγαπητέ Pla.pa.s καλησπέρα

Να τονίσω οτι για να βρούμε την αντίστροφη μιας συνάρτησης υποχρεούμαστε να βρούμε πρώτα το σύνολο τιμών της συνάρτησης αλλιώς δεν ξέρουμε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.
Επομένως αφού παραπάνω ζητήθηκε η εύρεση της $f^{-1}$ η εύρεση του $f(\mathbb{R})$ έχει προηγηθεί αναγκαστικά.
Δες και viewtopic.php?f=52&t=3566 για παράδειγμα τα ποστ του κ. Κυριακόπουλου για να καταλάβεις.

Φιλικά

Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Re: Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Μέλη σε σύνδεση