Σχολικά Όρια

Pla.pa.s · #1

Εμπνεόμενος από εδώ viewtopic.php?f=69&t=14669 :

Να βρεθούν με σχολικό τρόπο τα όρια:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}{e^{t^{2}}dt}$
και
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow + \infty}x\int_{0}^{x}{e^{-t^{2}-x^{2}-1}}dt$ .

έως 31/7/2011 - Ολοκληρωτικός Λογισμός ΄Γ Λυκείου (Κατεύθυνση)

ΘΕΟΧΑΡΗΣ ΚΙΒΡΑΚΙΔΗΣ · #2

$e^x>x\Rightarrow e^{x^2}>x^2\Rightarrow \int_{0}^{x}{e^{t^2}\,dt}>\int_{0}^{x}{t^2\,dt}\Rightarrow \int_{0}^{x}{e^{t^2}\,dt}>t^3/3$ Και πέρνοντας τα όρια στο +00 προκύπτει από γνωστή ιδιότητα ότι το ζητούμενο οριο ειναι +00
Και ναι έμαθα να γράφω με LATEX
Φιλικα Χάρης

#3

ΘΕΟΧΑΡΗΣ ΚΙΒΡΑΚΙΔΗΣ έγραψε:Και ναι έμαθα να γράφω με Lastex

Θεοχάρη καλώς όρισες στο mathematica.

Δεν είναι πολύ δύσκολο να γράψει κανείς σε $\LaTeX$ . Είναι κάπως δύσκολο στην αρχή μόνο. Ζωντανή απόδειξη οι δεκάδες που γράφουν στο mathematica.
Όμως δεν είναι Lastex είναι $\LaTeX$ (προφέρεται: λάτεχ ) και προέρχεται από το $\TeX$ (προφέρεται: τέχ ), το οποίο με την σειρά του προέρχεται από την Ελληνική λέξη Τέχνη. Αυτήν διάλεξε ο δημιουργός του $\TeX$ ( και σπουδαίος μαθηματικός ) Donald Knuth.

φιλικά

Pla.pa.s · #4

Επαναφορά για το δεύτερο (και πιο ζουμερό) όριο. Ας λυθεί και από μη μαθητές.

#5

Για το δεύτερο : Έστω c>0

. Τότε έχουμε

$\displaystyle{x\int_{0}^{x}e^{-t^2-x^2-1}\,dt=\underbrace{\frac{x}{e^{x^2+1}}\int_{0}^{c}e^{-t^2}\,dt}_{:=A(x)}+\underbrace{\frac{x}{e^{x^2+1}}\int_{c}^{x}e^{-t^2}\,dt}_{:=B(x)}}$ .

Αφού $\displaystyle{\int_{0}^{c}e^{-t^2}\,dt\in\mathbb R}$ , εύκολα βλέπουμε με De l Hospital ότι $A(x)\to0$ .

Για το B(x)

τώρα: Από την $e^x\geq x+1$ για $x\in\mathbb R$ έχουμε $\displaystyle{e^{-t^2}\leq\frac{1}{t^2+1}\leq\frac{1}{t^2}}$ , άρα $\displaystyle{0<\int_{c}^{x}e^{-t^2}\,dt\leq\int_{c}^{x}\frac{1}{t^2}\,dt=\frac{1}{c}-\frac{1}{x}}$ .

'Επεται ότι $\displaystyle{0<B(x)\leq\frac{x}{e^{x^2+1}}\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{x}\right)\to0}$ με De l Hospital όπως πριν. Συνολικά το όριο είναι

.

Christos.N · #6

Κάπως διαφορετικά.

Έστω $\displaystyle{f(t) = {e^{ - {t^2}}},t \ge 0}$

ψάχνουμε την μονοτονία, $\displaystyle{f'(t) = - 2t{e^{ - {t^2}}} < 0,\,t > 0}$ , άρα γνησίως φθίνουσα.

τα ακρότατα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f(t) = 0}$ και $\displaystyle{f(0) = 1}$ .

άρα : $\displaystyle{0 < f(t) \le 1\mathop \Rightarrow \limits^{x > 0} 0 < \int\limits_0^x {f(t)} \,dt < x \Rightarrow 0 < \frac{x}{{{e^{{x^2} + 1}}}}\int\limits_0^x {f(t)} \,dt < \frac{{{x^2}}}{{{e^{{x^2} + 1}}}}}$

έχουμε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2}}}{{{e^{{x^2} + 1}}}} = (\frac{\infty }{\infty }deL'H.) = 0}$

Συνεπώς με το κριτήριο παρεμβολής: $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{{e^{{x^2} + 1}}}}\int\limits_0^x {f(t)} \,dt = 0}$

Σχολικά Όρια

Σχολικά Όρια

Re: Σχολικά Όρια

Re: Σχολικά Όρια

Re: Σχολικά Όρια

Re: Σχολικά Όρια

Re: Σχολικά Όρια

Μέλη σε σύνδεση