Συναρτησιακή 246

Γιώργος Απόκης · #1

Καλησπέρα. Μία ενδιαφέρουσα συναρτησιακή απ' όπου μπορούμε να αντλήσουμε όμορφες ασκήσεις!

Δίνεται συνάρτηση $g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ και οι πραγματικοί αριθμοί $a,b,\lambda$ με $\lambda \ne \pm 1$ . Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

$f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ η οποία ικανοποιεί τη σχέση: $f(a+x)+\lambda f(b-x)=g(x), \; x\in \mathbb R$ .

#2

Ας ξεσκουριάσουμε λίγο.Καιρός ήταν...
Θέτω $\displaystyle{ x \to b - a - x }$ οπότε γίνεται:

$\displaystyle{ \lambda f(a + x) + f(b - x) = g(b - a - x) }$
οπότε με την αρχική δίνουν το σύστημα:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \lambda f(a + x) + f(b - x) = g(b - a - x) \\ f(a + x) + \lambda f(b - x) = g(x) \\ \end{array} }$
Λύνοντας το(βασικό το $\displaystyle{ \lambda \ne \pm 1 }$ ) έχω:

$\displaystyle{ f(a + x) = \frac{{g(x) - \lambda g(b - a - x)}}{{1 - \lambda ^2 }} \vee f(b - x) = \frac{{g(b - a - x) - \lambda g(x)}}{{1 - \lambda ^2 }} }$
Τώρα θέτω στην πρώτη $\displaystyle{ x \to x - a }$ και στη δεύτερη $\displaystyle{ x \to b - x }$ και έχω και από τις δύο :

$\displaystyle{ f(x) = \frac{{g(x - a) - \lambda g(b - x)}}{{1 - \lambda ^2 }} }$
συνάρτηση που επαληθεύει την αρχική

ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ

$\displaystyle{ f(\alpha + x) + \lambda f(b - x) = \frac{{g(x) - \lambda g(b - a - x)}}{{1 - \lambda ^2 }} + \lambda \frac{{g(b - x - a) - \lambda g(x)}}{{1 - \lambda ^2 }} = \frac{{g(x)(1 - \lambda ^2 )}}{{1 - \lambda ^2 }} = g(x) }$

ΘΕΟΧΑΡΗΣ ΚΙΒΡΑΚΙΔΗΣ · #3

Κύριε Χρήστο,θα μας πείτε ακριβώς την πορεία σκέψης σας σε αυτήν την άσκηση,με ποία λογική κάνατε αυτές τις αντικαταστάσεις?

#4

H λογική Θεοχάρη είχε να κάνει με αυτό που βλέπεις.Να προσπαθήσω να δημιουργήσω μία σχέση με τα αρχικά ορίσματα της συνάρτησης, $\displaystyle{ a + x,b - x }$ .
Τι πρέπει να θέσω λοιπόν για να έχω λοιπόν στη θέση του $\displaystyle{ a + x - > b - x }$ ;;Είναι σα να θέλω να λύσω την $\displaystyle{ a + \kappa = b - x }$ ως προς $\displaystyle{ k }$ .
Τι θα προκύψει; $\displaystyle{ b - a - x }$ !!
Παρόμοιο σκεπτικό και με το άλλο όρισμα.Και ώς δια μαγείας τα κατάφερα!!

Συναρτησιακή 246

Συναρτησιακή 246

Re: Συναρτησιακή 246

Re: Συναρτησιακή 246

Re: Συναρτησιακή 246

Μέλη σε σύνδεση