Ευθεία ΟΡ (3)

tasosty · #1

Δίνεται

τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο

και έστω $\displaystyle{P \equiv AC \cap BD}$ . Οι ημιευθείες

και

τέμνονται στο

, $AD \nparallel BC$ . Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου EBC

με κέντρο

εφάπτεται της

στο σημείο

, ενώ ο παρεγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου EAD

με κέντρο

εφάπτεται στην

στο

. Αν $\displaystyle{Q \equiv IM \cap JN}$ ΝΔΟ O,P,Q

είναι συνευθειακά σημεία

Παναγιώτης 1729 · #2

Έχουμε: $\displaystyle \widehat{AJI}=\frac{\widehat{ADE}}{2}=\frac{\widehat{EBC}}{2}=\widehat{IBE}$ .
Το τετράπλευρο AJIB

είναι λοιπόν εγγράψιμο. Είναι επίσης εύκολο να δειχθεί ότι QI=QJ

(αφού $\widehat{QIJ}=\widehat{QJI}$ ).
To E ανήκει επομένως στον ριζικό άξονα των κύκλων (A,B,C),(Q,QE)

.
Αν Χ,Y το παράκεντρο και το έκκεντρο των τριγώνων RAB,RCD (R το κοινό σημείο των BC,AD). Εύκολα έχουμε QX=QI=QY

.
Ομοίως το σημείο τομής F των BC,AD

. Άρα EF ο ριζικός άξονας των 2 αυτών κύκλων, οπότε οι OQ,EF είναι κάθετες. Το ζητούμενο προκύπτει άμεσα (από εδώ viewtopic.php?f=112&t=17403 )