Γινόμενο - Εμβαδά

KARKAR · #1

Σταθερό σημείο

βρίσκεται πάνω στη διάμετρο

, κύκλου

, ενώ σημείο

κινείται επί του κύκλου.

Στο

φέρουμε κάθετη επί της

, η οποία τέμνει τις στα A , B

εφαπτόμενες του κύκλου, στα σημεία C , D

.

1) Δείξτε ότι το γινόμενο $AC{\cdot}BD$ είναι σταθερό .

2) Βρείτε τη θέση του

για την οποία (ACST)=(BDST)

, και δείξτε ότι τότε : $(ACST) = R^{2}$

Σημ. Λόγω συμμετρίας , θεωρείστε ότι το

κινείται μόνο στο άνω (και ανοικτό ) ημικύκλιο $\overset{\frown}{AB}$

#2

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{ ACST \Rightarrow \boxed{\widehat{STC} = \widehat{SAC}}:\left( 1 \right) }$ (οι κορυφές $\displaystyle{ T,A }$ «βλέπουν την πλευρά $\displaystyle{ CS }$ υπό ίσες γωνίες) . Όμως $\displaystyle{ \boxed{\widehat{SBA} = \widehat{SAC}}:\left( 2 \right) }$

(εγγεγραμμένη – υπό χορδής και εφαπτομένης). Οπότε από τις σχέσεις $\displaystyle{ \left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \boxed{\widehat{STC} = \widehat{SBA} = \hat \phi }:\left( 3 \right) }$ . Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι: $\displaystyle{ \widehat{DBS} = \boxed{\widehat{DTS} = \widehat{TAS} = \hat \omega }:\left( 4 \right) }$

και επειδή $\displaystyle{ \widehat{ASB} = 90^0 }$ (εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο) προκύπτει από το τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ASB }$ ότι

$\displaystyle{ \widehat{SAB} + \widehat{SBA} = \hat \omega + \hat \phi = 90^0 \Rightarrow \ldots \boxed{\widehat{CTD} = 90^0 } }$ δηλαδή το τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle CTD }$ είναι ορθογώνιο στο $\displaystyle{ T }$ οπότε $\displaystyle{ \boxed{\widehat{CTA} = \widehat{TDB}} }$

(οξείες με κάθετες πλευρές ή έχουν την ίδια γωνία $\displaystyle{ \widehat{DTB} }$ για συμπλήρωμα) οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα

$\displaystyle{ \vartriangle ACT,\vartriangle BTD }$ είναι όμοια (ορθογώνια με μια οξεία γωνία) οπότε: $\displaystyle{ \frac{{AC}} {{TB}} = \frac{{AT}} {{BD}} \Rightarrow \boxed{AC \cdot BD = TB \cdot AT = ct} }$

για σταθερό κύκλο και σταθερό $\displaystyle{ T }$ ( μάλιστα είναι … $\displaystyle{ \boxed{AC \cdot BD = TB \cdot AT = \ldots R^2 - OT^2 } }$ )

2) $\displaystyle{ \vartriangle ACT \sim \vartriangle BTD \Rightarrow \frac{{\left( {ACT} \right)}} {{\left( {BTD} \right)}} = \left( {\frac{{CT}} {{DT}}} \right)^2 \Rightarrow \boxed{\left( {ACT} \right) = \left( {\frac{{CT}} {{DT}}} \right)^2 \cdot \left( {BTD} \right)}:\left( 5 \right) }$ ( είναι $\displaystyle{ \frac{{CT}} {{DT}} }$ ο λόγος ομοιότητάς τους) και ομοίως αποδεικνύεται ότι και τα τρίγωνα

$\displaystyle{ \vartriangle TCS,\vartriangle TSD }$ είναι όμοια οπότε $\displaystyle{ \vartriangle TCS \sim \vartriangle TSD \Rightarrow \frac{{\left( {TCS} \right)}} {{\left( {TSD} \right)}} = \left( {\frac{{CT}} {{DT}}} \right)^2 \Rightarrow \boxed{\left( {TCS} \right) = \left( {\frac{{CT}} {{DT}}} \right)^2 \cdot \left( {TSD} \right)}:\left( 6 \right) }$ (ο ίδιος λόγος ομοιότητας)

Προσθέτοντας τις σχέσεις $\displaystyle{ \left( 5 \right),\left( 6 \right)\vartriangle \Rightarrow \left( {ACT} \right) + \left( {TCS} \right) = \left( {\frac{{CT}} {{DT}}} \right)^2 \cdot \left[ {\left( {BTD} \right) + \left( {TSD} \right)} \right] \Leftrightarrow \left( {ACST} \right) = \left( {\frac{{CT}} {{DT}}} \right)^2 \cdot \left( {BDST} \right) }$

$\displaystyle{ \mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( {ACST} \right) = \left( {BDST} \right)} \left( {\frac{{CT}} {{DT}}} \right)^2 = 1 \Leftrightarrow \frac{{CT}} {{DT}} = 1 \Leftrightarrow CT = DT \Rightarrow \vartriangle ACT = \vartriangle DBT \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} AC = TB \hfill \\ BD = AT \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)} AC + BD = AT + BT\mathop \Rightarrow \limits^{AC + BD = 2OM,AT + BT = 2R} 2OM = 2R \Rightarrow \boxed{OM = R} \Rightarrow M }$

Θα είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου $\displaystyle{ AB }$ και επειδή το τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle CTD }$ θα είναι τότε ορθογώνιο και ισοσκελές θα ισχύει $\displaystyle{ S \equiv M }$

(η διάμεσος στην υποτείνουσά του θα είναι και ύψος του) δηλαδή το $\displaystyle{ S}$ θα βρεθεί στο μέσο του ημικυκλίου. Τότε όμως

$\displaystyle{ \left( {ACST} \right) = \left( {BDST} \right) = \frac{{\left( {ABDC} \right)}} {2} = \frac{{OM \cdot AB}} {2}\mathop = \limits^{OM = R,AB = 2R} \frac{{2R^2 }} {2} \Rightarrow \boxed{\left( {ACST} \right) = \left( {BDST} \right) = R^2 } }$

Στάθης

Γινόμενο - Εμβαδά

Γινόμενο - Εμβαδά

Re: Γινόμενο - Εμβαδά

Μέλη σε σύνδεση