ΑΣΚΗΣΗ

ΘΕΟΧΑΡΗΣ ΚΙΒΡΑΚΙΔΗΣ · #1

Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α ώστε, η συνάρτηση

με τύπο
$f(x)=\sqrt{-x^2+(a-3)x-a^2}$ να έχει ως πεδίο ορισμού το ευρύτερο υποσύνολο του $\mathbb{R}$ , το οποίο να βρείτε.

Φιλικά, Χάρης
Από τον Γ. Τσικαλουδάκη

#2

Πρέπει: $-x^2+(a-3)x-a^2 \geq 0 (I)$

Το παραπάνω τριώνυμο έχει διακρίνουσα $\Delta=-3(a-1)(a+3)$ .

* Αν $\Delta < 0 \Leftrightarrow a<-3 or a > 1$ η ανίσωση (Ι) είναι αδύνατη (αφού το τριώνυμο της σχέσης (Ι) είναι πάντα αρνητικό).

* Αν $\Delta = 0 \Leftrightarrow a=-3 or a = 1$ η ανίσωση (Ι) αληθεύει μόνο για $\displaystyle{x=\frac{a-3}{2}}$ .

* Αν $\Delta > 0 \Leftrightarrow -3<a<1$ η ανίσωση (Ι) είναι αληθεύει για $\displaystyle{\left[\frac{a-3-\sqrt{-3(a-1)(a+3)}}{2},\frac{a-3+\sqrt{-3(a-1)(a+3)}}{2} \right]}$ .

To διάστημα $\displaystyle{\left[\frac{a-3-\sqrt{-3(a-1)(a+3)}}{2},\frac{a-3+\sqrt{-3(a-1)(a+3)}}{2} \right]}$ για -3<a<1

είναι το ζητούμενο.

ΘΕΟΧΑΡΗΣ ΚΙΒΡΑΚΙΔΗΣ · #3

Κύριε Λευτέρη,η λύση δεν είναι πλήρης.Ζητάω την πραγματική τιμή του αριθμού α ώστε η συνάρτηση f(x)

να έχει ως πεδίο ορισμού το ευρύτερο υποσύνολο του

#4

Οκ λοιπόν.

Tο μήκος του διαστήματος είναι: $\displaystyle{\frac{a-3+\sqrt{-3(a-1)(a+3)}}{2}-\frac{a-3-\sqrt{-3(a-1)(a+3)}}{2}=\sqrt{-3(a-1)(a+3)}$ για -3<a<1

.

Το τριώνυμο -3(a-1)(a+3)= -3a^2-6a+9

παρουσιάζει μέγιστο για $\displaystyle{a=-\frac{-6}{2 \cdot (-3)}=-1}$ , (που είναι δεκτή)

οπότε το ζητούμενο μέγιστο διάστημα είναι:

$\displaystyle{\left [\frac{-1-3-\sqrt{-3(-1-1)(-1+3)}}{2}, \frac{-1-3+\sqrt{-3(-1-1)(-1+3)}}{2} \right ]=[-2-\sqrt{3},-2+\sqrt{3}]}$ .

ΑΣΚΗΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΑΣΚΗΣΗ

Μέλη σε σύνδεση