Γεωμετρικός τόπος x2

Συντονιστής: chris_gatos

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:
Επικοινωνία erxmer

Γεωμετρικός τόπος x2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer »

Θεωρούμε τη έλλειψη/υπερβολή \frac{x^2}{a^2}\pm \frac{y^2}{b^2}=1 και την εστία της E(\gamma, 0). Aν \left( \varepsilon \right) είναι μια μεταβλήτή εφαπτομένη της να βρεθεί ο γ.τ της προβολής της E επι της εφαπτομένης \left( \varepsilon \right) .
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημοσιεύσεις: 862
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 22, 2009 11:30 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Δημήτρης Μυρογιάννης

Re: Γεωμετρικός τόπος x2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτρης Μυρογιάννης »

Μια γεύση...
elleich2-erxmer.PNG
elleich2-erxmer.PNG (28.9 KiB) Προβλήθηκε 973 φορές
Συνημμένα
elleich2-erxmer.ggb
(7.71 KiB) Μεταφορτώθηκε 72 φορές
\top\Cape h e \;\; \AA \mathbb{R}\top\;\; o\pounds \; \; \int \imath m\mathbb{P}\l \imath \mathbb{C}\imath \top y \;\;\imath s\;\;a\;\;\mathbb{P}\Cup \mathbb{Z}\mathbb{Z}le \;\; o\pounds \;\; \mathbb{C} o m\mathbb{P}l e^{x} \imath T y
Κορυφή
solars
Δημοσιεύσεις: 88
Εγγραφή: Δευ Ιουν 20, 2011 9:14 pm
Τοποθεσία: Thessaloniki

Re: Γεωμετρικός τόπος x2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από solars »

maths-!!! έγραψε:Μια γεύση...
Beautiful... :clap2:
''If i have not seen as far as others it is because giants were standing in front of me.''
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3570
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία gbaloglou

Re: Γεωμετρικός τόπος x2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou »

erxmer έγραψε:Θεωρούμε τη έλλειψη/υπερβολή \frac{x^2}{a^2}\pm \frac{y^2}{b^2}=1 και την εστία της E(\gamma, 0). Aν (ε) είναι μια μεταβλήτή εφαπτομένη της να βρεθεί ο γ.τ της προβολής της E επι της εφαπτομένης (ε) .
Εύκολο για όσους θυμούνται την ανακλαστική ιδιότητα των κωνικών τομών:

Έλλειψη: επειδή το συμμετρικό της εστίας (c, 0) ως προς την εφαπτομένη στο P βρίσκεται στην ευθεία που συνδέει την άλλη εστία, (-c, 0), και το P, και μάλιστα, λόγω συμμετρίας, σε απόσταση 2a από το (-c, 0), ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος δεν είναι παρά ο παρακάτω:

Ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν το εντός του κύκλου κέντρου (-c, 0) και ακτίνας 2a σημείο (c, 0) με τα σημεία επί του κύκλου είναι ... ο κύκλος κέντρου (0, 0) και ακτίνας a.

Για την υπερβολή αρκεί να αλλάξουμε ένα "ν" σε "κ":

Υπερβολή: επειδή το συμμετρικό της εστίας (c, 0) ως προς την εφαπτομένη στο P βρίσκεται στην ευθεία που συνδέει την άλλη εστία, (-c, 0), και το P, και μάλιστα, λόγω συμμετρίας, σε απόσταση 2a από το (-c, 0), ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος δεν είναι παρά ο παρακάτω:

Ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν το εκτός του κύκλου κέντρου (-c, 0) και ακτίνας 2a σημείο (c, 0) με τα σημεία επί του κύκλου είναι ... ο κύκλος κέντρου (0, 0) και ακτίνας a.

[Ίσως θέλει λίγη συζήτηση για την περίπτωση b>a, ενώ και κάποια σχήματα θα βοηθούσαν...]

Γιώργος Μπαλόγλου
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημοσιεύσεις: 862
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 22, 2009 11:30 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Δημήτρης Μυρογιάννης

Re: Γεωμετρικός τόπος x2

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτρης Μυρογιάννης »

H θεωρία του Γιώργου Μπαλόγλου.
elleich2-erxmer-GIWRGOS MPALOGGLOY.PNG
elleich2-erxmer-GIWRGOS MPALOGGLOY.PNG (22.57 KiB) Προβλήθηκε 903 φορές
Συνημμένα
elleich2-erxmer-GIWRGOS MPALOGGLOY.ggb
(8.41 KiB) Μεταφορτώθηκε 76 φορές
\top\Cape h e \;\; \AA \mathbb{R}\top\;\; o\pounds \; \; \int \imath m\mathbb{P}\l \imath \mathbb{C}\imath \top y \;\;\imath s\;\;a\;\;\mathbb{P}\Cup \mathbb{Z}\mathbb{Z}le \;\; o\pounds \;\; \mathbb{C} o m\mathbb{P}l e^{x} \imath T y
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3570
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία gbaloglou

Re: Γεωμετρικός τόπος x2

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou »

maths-!!! έγραψε:H θεωρία του Γιώργου Μπαλόγλου.
elleich2-erxmer-GIWRGOS MPALOGGLOY.PNG
Και θεωρία και πράξη :)

[Σ' ευχαριστώ πολύ για την ανάρτηση, αν και πάσχει από έλλειψη υπερβολής!]

;)
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημοσιεύσεις: 862
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 22, 2009 11:30 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Δημήτρης Μυρογιάννης

Re: Γεωμετρικός τόπος x2

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτρης Μυρογιάννης »

Και περι υπερβολής η αντιστοιχη θεωρία του Γ. Μπαλόγλου ....για να μην υπάρχει έλλειψη... :D .
yperbolh2-erxmer-GMPALOGLOY.PNG
yperbolh2-erxmer-GMPALOGLOY.PNG (14.26 KiB) Προβλήθηκε 831 φορές
Συνημμένα
yperbolh2-erxmer-GMPALOGLOY.ggb
(7.54 KiB) Μεταφορτώθηκε 56 φορές
\top\Cape h e \;\; \AA \mathbb{R}\top\;\; o\pounds \; \; \int \imath m\mathbb{P}\l \imath \mathbb{C}\imath \top y \;\;\imath s\;\;a\;\;\mathbb{P}\Cup \mathbb{Z}\mathbb{Z}le \;\; o\pounds \;\; \mathbb{C} o m\mathbb{P}l e^{x} \imath T y
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες