Γεωμετρική και αριθμητική (Δελτίο Νο:6)

Γιώργος Απόκης · #1

Αν για μία αριθμητική (a_n)

και μία γεωμετρική (b_n)

πρόοδο (οι οποίες δεν είναι σταθερές) ισχύουν a_1=b_1,a_2=b_2

, να δείξετε ότι b_n>a_n

για $n \geq 3$ .

Εdit: Συμπληρώνω ότι οι πρόοδοι έχουν θετικούς όρους.

#2

Πράγματι, οι όροι χρειάζεται να είναι θετικοί. Έστω λοιπόν $\omega ,$ η διαφορά της αριθμ. προόδου και $\lambda$ ο λόγος της γεωμ. προόδου. Τότε θα είναι:

$\omega =a_{2}-a_{1} \lambda =\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{a_{1}}$

Άρα $\omega =a_{1}(\lambda -1)$

Τώρα έχουμε:

$b_{n}=b_{1}.\lambda ^{n-1} a_{n}=a_{1}+(n-1)\omega$

Πρέπει να δείξουμε ότι $b_{n}>a_{n}$ για κάθε $n\geq 3$

Άρα αρκεί ισοδύναμα να δείξουμε ότι $a_{1}.\lambda ^{n-1}>a_{1}+(n-1)a_{1}(\lambda -1)\Leftrightarrow$

$\lambda ^{n-1}>1+(n-1)(\lambda -1)$ (δεδομένου ότι $a_{1}>0$ )

Από την ανισότητα του Bernulli έχουμε:

$\lambda ^{n-1}=[1+(\lambda -1)]^{n-1}\geq 1+(n-1)(\lambda -1)$ (εφόσον είναι $\lambda-1>-1$ , αφού εξ υποθέσεως είναι $\lambda>0$ διότι η πρόοδος έχει θετικούς όρους)

Και επειδή η ισότητα ισχύει για n-1=1

, δηλαδή για n=2

άρα για κάθε $n\geq 3$

θα έχουμε ότι ισχύει η γνήσια ανισότητα και άρα το ζητούμενο.

Γιώργος Απόκης · #3

Πολύ όμορφη λύση Δημήτρη! Ούτε που σκέφτηκα Bernoulli! Θα δώσω μια διαφορετική...

Για ευκολία θα συμβολίσω με p,q

τους δύο πρώτους (ίσους) όρους και με x,y

το γενικό όρο κάθε προόδου.

Ισχύουν: x=p+(n-1)(q-p)

και $\displaystyle{y=p\cdot \left(\frac{q}{p}\right)^{n-1}=\frac{q^{n-1}}{p^{n-2}}}$ . Θ.δ.ο. y>x

για $n \geq 3$ .

Έστω $\displaystyle{y>x\Leftrightarrow \frac{q^{n-1}}{p^{n-2}}>p+(n-1)(q-p)\Leftrightarrow q^{n-1}>p^{n-1}+(n-1)(q-p)p^{n-2}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (q^{n-1}-p^{n-1})-(n-1)(q-p)p^{n-2}>0\Leftrightarrow (q-p)(q^{n-2}+q^{n-3}\cdot p+...+p^{n-2})-(n-1)(q-p)p^{n-2}>0\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (q-p)(q^{n-2}+q^{n-3}\cdot p+...+p^{n-2}-p^{n-2}-p^{n-2}-...-p^{n-2})>0\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (q-p)[(q^{n-2}-p^{n-2})+p(q^{n-3}-p^{n-3})+...+p^{n-3}(q-p)]>0\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (q-p)^2[(q^{n-3}+...+p^{n-3})+...+p(q^{n-4}+...+p^{n-4})+...+p^{n-3})>0}$ που ισχύει.

Γεωμετρική και αριθμητική (Δελτίο Νο:6)

Γεωμετρική και αριθμητική (Δελτίο Νο:6)

Re: Γεωμετρική και αριθμητική

Re: Γεωμετρική και αριθμητική

Μέλη σε σύνδεση