Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.

#1

Με αφορμή την άσκηση 1 εδώ,

Να βρεθούν οι ακέραιοι για τους οποίους το είναι τετράγωνο ακεραίου.

Νίκος Κατσίπης

Marios V. · #2

Ας θέσουμε $x\geq y\geq z$ . (Προφανώς οι δυο ισότητες δεν μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα)
$4^{x}+4^{y}+4^{z}=4^{z}(4^{x-z}+4^{y-z}+1)=(2^{z})^{2}(4^{x-z}+4^{y-z}+1)$
οπότε το $4^{x-z}+4^{y-z}+1$ πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, προφανώς περιττού.
$4^{x-z}+4^{y-z}+1=(2k+1)^{2}$
$4^{x-z}+4^{y-z}=2k(2k+2)$
$4^{y-z}(4^{x-y}+1)=4k(k+1)$
$4^{y-z-1}(4^{x-y}+1)=k(k+1)$
οπότε $4^{y-z-1}+1=4^{x-y}+1$ (1)*
και y-z-1=x-y

Τέλος,

.

*Διευκρίνηση: ο λόγος που ισχύει η (1) είναι ότι έχουμε $4^{y-z-1}=k$ και $4^{x-y}+1=k+1$ , αφου διαφορετικά θα είχαμε $4^{x-y}+1=k \equiv 1 (mod4)$ , και $k+1= 4^{y-z-1}$ , άρα $2\equiv 0 (mod 4)$ που δεν ισχύει

Eagle · #3

Φερμά_96 έγραψε:Ας θέσουμε $x\geq y\geq z$ . (Προφανώς οι δυο ισότητες δεν μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα)
$4^{x}+4^{y}+4^{z}=4^{z}(4^{x-z}+4^{y-z}+1)=(2^{z})^{2}(4^{x-z}+4^{y-z}+1)$
οπότε το $4^{x-z}+4^{y-z}+1$ πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, προφανώς περιττού.
$4^{x-z}+4^{y-z}+1=(2k+1)^{2}$
$4^{x-z}+4^{y-z}=2k(2k+2)$
$4^{y-z}(4^{x-y}+1)=4k(k+1)$
$4^{y-z-1}(4^{x-y}+1)=k(k+1)$
οπότε $4^{y-z-1}+1=4^{x-y}+1$
και
Τέλος, .

Νομίζω πως έχεις ξεχάσει να διακρίνεις περιπτώσεις διότι αν το

είναι περιττός η σχέση $4^{y-z-1}+1=4^{x-y}+1$ δεν ισχύει.
Βέβαια είναι πασιφανές ότι αν το

είναι περιττός δεν έχουμε λύση,αφού η εξίσωση $4^{y-z-1}=(k+1)$ είναι προφανώς αδύνατη στο $\mathbb{Z}$

Marios V. · #4

Θεώρησα προφανές πως $4^{z-y-1}=k$ (και άρα άρτιος), και $4^{x-y}+1=k+1$ .
Αλλιώς θα έπρεπαι ο $4^{x-y}$ να αφήνει ταυτόχρονα υπόλοιπο

και

με το

, που προφανώς δεν μπορεί να ισχύει.

#5

Η παραπάνω λύση (όπως μπορείτε να δείτε και εδώ https://artofproblemsolving.com/communi ... ry_problem) είναι ελλιπής.

Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.

Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.

Re: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.

Re: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.

Re: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.

Re: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.

Μέλη σε σύνδεση