Γεωμετρείν 4

[Δημήτρης Μυρογιάννης]

Να δείξετε ότι η περιφέρεια διέρχεται (εκτός του ) από σταθερό σημείο , όπου δυο (μεταβλητά) σημεία επί των αντίστοιχα, τέτοια ώστε .

ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 4.PNG (12.25 KiB) Προβλήθηκε 690 φορές

[p_gianno]

Εστω σημείο της έτσι ώστε (1).
Η μεσοκάθετος του (στο ) και η μεσοκάθετος της (στο ) τέμνονται στο .
Είναι επομένως (2) και (3) .
Θα δείξουμε ότι είναι το ζητούμενο δεύτερο σταθερό σημείο.
Από 1,2,3 έχουμε τργ =τργ συνεπώς (4) , (5)
Από 1,2,3,4,5 προκύπτει ότι τργ= τργ (άρα ) και τργ τργ (άρα )
Είναι όμως

Στο ισοσκελές τργ ( λόγω των ίσων τργ )
είναι

Συνεπώς το ισοσκελές τργ παραμένει όμοιο προς εαυτό για τις διάφορες θέσεις του .
Επομένως (αφού είναι μία απο τις θέσεις του τργ ) δηλ εγγράψιμμο
δηλ ο κύκλος διέρχεται από το σταθερό σημείο

[S.E.Louridas]

Ας μου επιτραπεί μία θεωρητική παρέμβαση.
Το πρόβλημα, επί της ουσίας, είναι το γνωστό πρόβλημα του Mac Laurin:
«Σε σταθερού μέτρου γωνία και επί των πλευρών της κινούνται τα σημεία στην στην ώστε η διαφορά
να παραμένει σταθερή ( εδώ είναι ), τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου διέρχεται από σταθερό σημείο της εξωτερικής διχοτόμου».
Μία ωραία και σύντομη απόδειξη ( η απόδειξη του συναδέλφου είναι, κατά τη προσωπική μου άποψη, επίσης καλή) είναι με χρήση του θεωρήματος του Πτολεμαίου σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο.


S.E.Louridas