Συναρτησιακή στους θετικούς

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f :\mathbb{R^{+}}\to\mathbb{R^{+}}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle f(x-y) = f(x)-f(x) f\left(\frac{1}{x}\right) y ,$ για κάθε x > y >0 .

#2

Για x=1 και 0<y<1 παίρνουμε f(1-y)=c-c^2y

(1) όπου

Για x=2,y=1 παίρνουμε $c=f(2)-f(2)f(\frac{1}{2})$ άρα από την (1)

$c=f(2)-f(2)(c-\frac{c^2}{2})$ άρα $f(2)=\frac{c}{1-c+\frac{c^2}{2}}$

Τώρα για x=1/2 , y=1/4 παίρνουμε $f(1/4)=f(1/2)-f(1/2)f(2)\frac{1}{4}$ και από την (1)

c-3c^2/4=c-c^2/2-(c-c^2/2)f(2)1/4

οπότε $f(2)=\frac{c}{1-\frac{c}{2}}$

Από τις δύο σχέσεις παίρνουμε ότι c=1

άρα η (1) γίνεται f(1-y)=1-y

για κάθε 0<y<1.

Τώρα για x>1 και y=x-1 παίρνουμε 1=f(x)-f(x)(x-1)(1-(1-1/x))

οπότε f(x)=x για κάθε x>1.

Τελικά f(x)=x

για κάθε x>0.

Είναι εντάξει ;

#3

Well done...

Συναρτησιακή στους θετικούς

Συναρτησιακή στους θετικούς

Re: Συναρτησιακή στους θετικούς

Re: Συναρτησιακή στους θετικούς

Μέλη σε σύνδεση