Ανισότητα

mathxl · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[ {0,2} \right] \to R}$ , η οποία έχει αύξουσα παράγωγο. Να δείξετε ότι
$\displaystyle{\frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \le f\left( 0 \right) + f'\left( 2 \right)}$

angvl · #2

Επειδή η

έχει αύξουσα παράγωγο άρα η δεύτερη παραγωγός της θα είναι θετική (f''(x) > 0)

συνεπώς η

είναι κυρτή.

Ισχύει ενα θεώρημα το οποίο λέει ότι,

$f:[a,b]\to\mathbb{R}$ κυρτή. Τότε $\displaystyle f(\frac{a+b}{2})\leq\frac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq\frac{f(a)+f(b)}{2}$ . Βλέπε καί εδώ viewtopic.php?f=61&t=1202&start=0

Οπότε για a = 0

καί

έχουμε ότι $\displastyle f(1) \le\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(x)dx\le\frac{f(0)+f(2)}{2}$

Είναι τώρα $\displaystyle \frac{f(0)+f(2)}{2}=f(0) - \frac{f(0)}{2}+\frac{f(2)}{2} = f(0) + \frac{f(2)-f(0)}{2-0}$

Επειδή η

είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [0,2]

η εφαπτομένης της στο $x_{0}= 2$ έxει εξίσωση,

$\displaystyle f(x) - f(2) = f'(2)(x -2)$ για

x = 0

είναι $\displaystyle f(0) - f(2) = f'(2)(0-2) \rightarrow f'(2) = \frac{f(2)-f(0)}{2-0}$

Αρα $\displaystyle f(0) + \frac{f(2)-f(0)}{2-0} = f(0) + f'(2)$

Το κομμάτι που έγραψα με τα κόκκκινα δηλαδή αυτό με την εφαπτομένη δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστό.

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Είναι λάθος αφού η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ στο σημείο $\displaystyle{{x_0} = 2}$ είναι όπως πολύ σωστά έγραψες $\displaystyle{y - f\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right)}$ με $\displaystyle{\left( {x,y} \right)}$ σημεία της ευθείας (εφαπτομένης) και όχι της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ , άρα η αντικατάσταση σε αυτή την εξίσωση όπου $\displaystyle{y}$ το $\displaystyle{f\left( x \right)}$ είναι λάθος.

Το ορθό θα ήταν στην θέση του $\displaystyle{y}$ να θέσεις πχ. $\displaystyle{g\left( x \right)}$

angvl · #4

Μάκη καλημέρα και σε ευχαριστώ για την απάντηση! Θα το κοιτάξω ξανά.

Και μια ερώτηση θέλω να κάνω. Αν είχαμε μια συνάρτηση $\displaystyle f[a,b]\right\to R$ η οποία είναι κοίλη στό

$\displaystyle [a,b]$ τότε θα ίσχυε $\displaystyle f(\frac{a+b}{2}) \ge \frac{f(a)+f(b)}{2}$ ?

hsiodos · #5

Η ζητούμενη γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{ \int_0^2 {f(x)dx} \le 2f(0) + 2f{'} (2) \Leftrightarrow \int_0^2 {f(x)dx} - 2f(0) \le 2f{'} (2) \Leftrightarrow \int_0^2 {f(x)dx} - \int_0^2 {f(0)dx} \le 2f{'} (2) }$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow \int_0^2 {\left( {f(x) - f(0)} \right)} dx \le 2f{'} (2)\,\,\,(1)}$

Αρκεί να αποδειχθεί η (1)

Έστω $\displaystyle{x \in \left( {0,2} \right]}$ , τότε η $\displaystyle{f}$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα $\displaystyle{\,\left[ {0,x} \right]}$ και έτσι θα υπάρχει $\displaystyle{ \xi \in (0,x)}$ , τέτοιο ώστε

$\displaystyle{ f{'} (\xi ) = \frac{{f(x) - f(0)}}{x} \Rightarrow f(x) - f(0) \le xf{'} (\xi )\mathop \Rightarrow \limits^{f{'} \uparrow } f(x) - f(0) \le xf{'} (2)\,\,\,(2)}$

Η (2) ισχύει για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0,2} \right]}$ αλλά προφανώς ισχύει και όταν $\displaystyle{x = 0}$ οπότε ισχύει για κάθε $\displaystyle{ x \in \left[ {0,2} \right]}$

Οι συναρτήσεις $\displaystyle{ f(x) - f(0)\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,xf{'} (2)}$ είναι συνεχείς στο $\displaystyle{\left[ {0,2} \right]}$ οπότε έχουμε:(το βήμα αυτό σχολικά χρειάζεται απόδειξη)

$\displaystyle{ \int_0^2 {\left( {f(x) - f(0)} \right)} dx \le \int_0^2 {xf{'} (2)} dx \Rightarrow \int_0^2 {\left( {f(x) - f(0)} \right)} dx \le f{'} (2)\left[ {\frac{{x^2 }}{2}} \right]_0^2 \Rightarrow \int_0^2 {\left( {f(x) - f(0)} \right)} dx \le 2f{'} (2)\,}$

Γιώργος

Νασιούλας Αντώνης · #6

angvl έγραψε:
Και μια ερώτηση θέλω να κάνω. Αν είχαμε μια συνάρτηση $\displaystyle f[a,b]\right\to R$ η οποία είναι κοίλη στό

$\displaystyle [a,b]$ τότε θα ίσχυε $\displaystyle f(\frac{a+b}{2}) \ge \frac{f(a)+f(b)}{2}$ ?

Ναι. Πρόκειται για ειδική περίπτωση της ανισότητας Jensen.

mathxl · #7

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:
angvl έγραψε:
Και μια ερώτηση θέλω να κάνω. Αν είχαμε μια συνάρτηση $\displaystyle f[a,b]\right\to R$ η οποία είναι κοίλη στό

$\displaystyle [a,b]$ τότε θα ίσχυε $\displaystyle f(\frac{a+b}{2}) \ge \frac{f(a)+f(b)}{2}$ ?

Ναι. Πρόκειται για ειδική περίπτωση της ανισότητας Jensen.

Μία απόδειξη μπορείς να κάνεις χρησιμοποιώντας την συνάρτηση
$\displaystyle{g\left( x \right) = f\left( {\frac{{x + \alpha }}{2}} \right) - \frac{{f\left( x \right) + f\left( \alpha \right)}}{2},x \in \left[ {\alpha ,\beta } \right]}$

όσο για την άσκηση, η λύση που έχω υπόψη είναι αυτή που παρέθεσε ο Γιώργος (hsiodos)

#8

angvl έγραψε:Επειδή η έχει αύξουσα παράγωγο άρα η δεύτερη παραγωγός της θα είναι θετική συνεπώς η είναι κυρτή.

Επιπροσθέτως,επειδή παρακολουθούν και μαθητές καλό θα είναι να πούμε πως η εκφώνηση δε λέει πουθενά πως η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη,όπως έχει υποτεθεί στη λύση.

angvl · #9

Καλησπέρα.

Όταν δηλαδή λέει αυτό ''Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[ {0,2} \right] \to R}$ '' τι εννόει? Πως μπορούμε να καταλάβουμε δηλαδή αν είναι μία ή δύο κ.ο.κ φορές παραγωγίσιμη? Εγώ είπα επειδή είναι παραγωγίσιμη θα είναι όσες φορές θέλουμε.

#10

Όταν η άσκηση λέει ''παραγωγίσιμη'' εγώ καταλαβαίνω μία φορά παραγωγίσιμη.
Κ.ο.κ...

angvl · #11

Αρα είναι θέμα του πως το αντιλαμβάνεται κανείς? η ισχύει πάντα αυτο? ¨Οταν δηλαδή μια άσκηση λέει παραγωγίσιμη εννόει μια φορά αλλιώς πρέπει να το διευκρινίζει αν είναι δύο φορές κ.ο.κ..

chris · #12

Οταν μια άσκηση λέει οτι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη εννοείται μία φορά...αν πει δύο φορές παραγωγίσιμη ή αν προκύπτει αυτό είναι άλλο θέμα.

angvl · #13

Οκ ευχαριστώ!

#14

angvl έγραψε:Αρα είναι θέμα του πως το αντιλαμβάνεται κανείς?

Δεν καταλαβαίνω!Πως προέκυψε αυτή η συνεπαγωγή;
Για να καταλάβουμε πως η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη πρέπει να δηλώνεται στην εκφώνηση ή να αποδεικνύεται
με χρήση των δεδομένων.
Καλό θα είναι να το προσέχουμε αυτό γιατί και αρκετοί μαθητές παρασύρονται σε ''στρεβλά'' συμπεράσματα....

angvl · #15

Γιατί το καταλαβαίνω εγώ..?

Πράγματι κάποιος μπορεί να παρασυρθεί πολύ εύκολα όπως παρασύρθηκα και γώ! Ευχαριστώ για την παρατήρηση!

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση