Ανισότητα
Συντονιστής: R BORIS
Ανισότητα
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση , η οποία έχει αύξουσα παράγωγο. Να δείξετε ότι
Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Re: Ανισότητα
Επειδή η έχει αύξουσα παράγωγο άρα η δεύτερη παραγωγός της θα είναι θετική συνεπώς η είναι κυρτή.
Ισχύει ενα θεώρημα το οποίο λέει ότι,
κυρτή. Τότε . Βλέπε καί εδώ viewtopic.php?f=61&t=1202&start=0
Οπότε για καί έχουμε ότι
Είναι τώρα
Επειδή η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο
η εφαπτομένης της στο έxει εξίσωση,
για
είναι
Αρα
Το κομμάτι που έγραψα με τα κόκκκινα δηλαδή αυτό με την εφαπτομένη δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστό.
Ισχύει ενα θεώρημα το οποίο λέει ότι,
κυρτή. Τότε . Βλέπε καί εδώ viewtopic.php?f=61&t=1202&start=0
Οπότε για καί έχουμε ότι
Είναι τώρα
Επειδή η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο
η εφαπτομένης της στο έxει εξίσωση,
για
είναι
Αρα
Το κομμάτι που έγραψα με τα κόκκκινα δηλαδή αυτό με την εφαπτομένη δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστό.
Καλό Καλοκαίρι!
- Μάκης Χατζόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 2456
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα
Είναι λάθος αφού η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο είναι όπως πολύ σωστά έγραψες με σημεία της ευθείας (εφαπτομένης) και όχι της γραφικής παράστασης της , άρα η αντικατάσταση σε αυτή την εξίσωση όπου το είναι λάθος.
Το ορθό θα ήταν στην θέση του να θέσεις πχ.
Το ορθό θα ήταν στην θέση του να θέσεις πχ.
(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Re: Ανισότητα
Μάκη καλημέρα και σε ευχαριστώ για την απάντηση! Θα το κοιτάξω ξανά.
Και μια ερώτηση θέλω να κάνω. Αν είχαμε μια συνάρτηση η οποία είναι κοίλη στό
τότε θα ίσχυε ?
Και μια ερώτηση θέλω να κάνω. Αν είχαμε μια συνάρτηση η οποία είναι κοίλη στό
τότε θα ίσχυε ?
Καλό Καλοκαίρι!
Re: Ανισότητα
Η ζητούμενη γράφεται ισοδύναμα:
Αρκεί να αποδειχθεί η (1)
Έστω , τότε η ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα και έτσι θα υπάρχει , τέτοιο ώστε
Η (2) ισχύει για κάθε αλλά προφανώς ισχύει και όταν οπότε ισχύει για κάθε
Οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στο οπότε έχουμε:(το βήμα αυτό σχολικά χρειάζεται απόδειξη)
Γιώργος
Αρκεί να αποδειχθεί η (1)
Έστω , τότε η ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα και έτσι θα υπάρχει , τέτοιο ώστε
Η (2) ισχύει για κάθε αλλά προφανώς ισχύει και όταν οπότε ισχύει για κάθε
Οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στο οπότε έχουμε:(το βήμα αυτό σχολικά χρειάζεται απόδειξη)
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
-
- Δημοσιεύσεις: 623
- Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα
Ναι. Πρόκειται για ειδική περίπτωση της ανισότητας Jensen.angvl έγραψε:
Και μια ερώτηση θέλω να κάνω. Αν είχαμε μια συνάρτηση η οποία είναι κοίλη στό
τότε θα ίσχυε ?
"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
Re: Ανισότητα
Μία απόδειξη μπορείς να κάνεις χρησιμοποιώντας την συνάρτησηΝασιούλας Αντώνης έγραψε:Ναι. Πρόκειται για ειδική περίπτωση της ανισότητας Jensen.angvl έγραψε:
Και μια ερώτηση θέλω να κάνω. Αν είχαμε μια συνάρτηση η οποία είναι κοίλη στό
τότε θα ίσχυε ?
όσο για την άσκηση, η λύση που έχω υπόψη είναι αυτή που παρέθεσε ο Γιώργος (hsiodos)
Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Ανισότητα
angvl έγραψε:Επειδή η έχει αύξουσα παράγωγο άρα η δεύτερη παραγωγός της θα είναι θετική συνεπώς η είναι κυρτή.
Επιπροσθέτως,επειδή παρακολουθούν και μαθητές καλό θα είναι να πούμε πως η εκφώνηση δε λέει πουθενά πως η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη,όπως έχει υποτεθεί στη λύση.
Χρήστος Κυριαζής
Re: Ανισότητα
Καλησπέρα.
Όταν δηλαδή λέει αυτό ''Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση '' τι εννόει? Πως μπορούμε να καταλάβουμε δηλαδή αν είναι μία ή δύο κ.ο.κ φορές παραγωγίσιμη? Εγώ είπα επειδή είναι παραγωγίσιμη θα είναι όσες φορές θέλουμε.
Όταν δηλαδή λέει αυτό ''Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση '' τι εννόει? Πως μπορούμε να καταλάβουμε δηλαδή αν είναι μία ή δύο κ.ο.κ φορές παραγωγίσιμη? Εγώ είπα επειδή είναι παραγωγίσιμη θα είναι όσες φορές θέλουμε.
Καλό Καλοκαίρι!
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Ανισότητα
Όταν η άσκηση λέει ''παραγωγίσιμη'' εγώ καταλαβαίνω μία φορά παραγωγίσιμη.
Κ.ο.κ...
Κ.ο.κ...
Χρήστος Κυριαζής
Re: Ανισότητα
Αρα είναι θέμα του πως το αντιλαμβάνεται κανείς? η ισχύει πάντα αυτο? ¨Οταν δηλαδή μια άσκηση λέει παραγωγίσιμη εννόει μια φορά αλλιώς πρέπει να το διευκρινίζει αν είναι δύο φορές κ.ο.κ..
Καλό Καλοκαίρι!
Re: Ανισότητα
Οταν μια άσκηση λέει οτι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη εννοείται μία φορά...αν πει δύο φορές παραγωγίσιμη ή αν προκύπτει αυτό είναι άλλο θέμα.
Στραγάλης Χρήστος
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Ανισότητα
Δεν καταλαβαίνω!Πως προέκυψε αυτή η συνεπαγωγή;angvl έγραψε:Αρα είναι θέμα του πως το αντιλαμβάνεται κανείς?
Για να καταλάβουμε πως η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη πρέπει να δηλώνεται στην εκφώνηση ή να αποδεικνύεται
με χρήση των δεδομένων.
Καλό θα είναι να το προσέχουμε αυτό γιατί και αρκετοί μαθητές παρασύρονται σε ''στρεβλά'' συμπεράσματα....
Χρήστος Κυριαζής
Re: Ανισότητα
Γιατί το καταλαβαίνω εγώ..?
Πράγματι κάποιος μπορεί να παρασυρθεί πολύ εύκολα όπως παρασύρθηκα και γώ! Ευχαριστώ για την παρατήρηση!
Πράγματι κάποιος μπορεί να παρασυρθεί πολύ εύκολα όπως παρασύρθηκα και γώ! Ευχαριστώ για την παρατήρηση!
Καλό Καλοκαίρι!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες