Εύρεση πρώτου!

#1

Να βρεθούν οι τιμές του πρώτου αριθμού $\displaystyle{p}$ , ώστε ο αριθμός $\displaystyle{2^p+p^2}$ να είναι πρώτος.

Eagle · #2

Ισχυρίζομαι ότι p=3

.

Έστω $p \geq 5$ ,άρα

περιττός.
Παίρνοντας την παράσταση $\pmod 3$ λαμβάνουμε
$2^p+p^2 \equiv (-1)^p+1=-1+1=0 \pmod 3$ ,διότι

περιττός και διάφορος του 3.Δηλαδή για κάθε πρώτο

διάφορο του 3 και του 2 αποδείξαμε ότι η παράσταση είναι διαιρετή από το 3.
Για p=2

,έχουμε

που δεν είναι πρώτος.
Τέλος για p=3

,έχουμε

που είναι πρώτος.
Συνεπώς p=3

.