Τριγωνομετρική ανίσωση!

#1

Να λυθεί η ανίσωση

$\displaystyle{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}>1.}$

GMANS · #2

Λόγω των περιορισμών για τις ρίζες δουλεύουμε στο πρώτο τεταρτημόριο
Μάλιστα οι

$x=2\kappa \pi ,x=2\kappa \pi +\frac{\pi }{2}$ δεν είναι λύσεις της ανίσωσης

θέτω $a=\sqrt{sinx}, a\epsilon (0,1)$
οπότε
$cosx=\sqrt{1-sin^2x}=\sqrt{1-a^4}$
η δοσμένη ανίσωση γίνεται

$a+\sqrt[4]{1-a^4}>1\Leftrightarrow \sqrt[4]{1-a^4}>1-a\Leftrightarrow (1-a)(1+a)(1+a^2)>(1-a)^4\Leftrightarrow (1+a)(1+a^2)>(1-a)^3\Leftrightarrow 2a^3-2a^2+4a>0\Leftrightarrow a^2-a+2>0$
ισχύει για κάθε $a\epsilon (0,1)$ άρα και για κάθε x με

$2\kappa \pi <x<2\kappa \pi +\frac{\pi }{2},k\epsilon Z$

GMANS · #3

και αλλιώς
Για x τέτοιο ώστε $2\kappa \pi <x<2\kappa \pi +\frac{\pi }{2} ,\kappa\epsilon Z$
Είναι 0<sinx<1,0<cosx<1

οπότε
$\sqrt{sinx}>sinx,\sqrt{cosx}>cosx,$ Άρα

$\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}>sinx+cosx>1(*),$
Για κάθε x με $2\kappa \pi <x<2\kappa \pi +\frac{\pi }{2} ,\kappa\epsilon Z$
απόδειξη της (*)
$sinx+cosx>1\Leftrightarrow sin^2x+cos^2x+2sinxcosx>1\Leftrightarrow sin2x>0$
που ισχύει

#4

Ωραία!

Λίγο πιο απλά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι

$\displaystyle{\sin x \leq 1 \Rightarrow \sin ^2 x\leq \sqrt{\sin x}}$

και

$\displaystyle{\cos x\leq 1 \Rightarrow \cos ^2 x\leq \sqrt{\cos x}}$

οπότε

$\displaystyle{1=\sin ^2 x+\cos ^2 x\leq \sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}.}$

Επειδή η ισότητα ισχύει φανερά αν και μόνο αν $\displaystyle{x=2k\pi}$ ή $\displaystyle{x=2k\pi +\frac{\pi}{2}}$ ,

φτάνουμε στο αποτέλεσμα που αναφέρει ο Γιώργος παραπάνω.

Τριγωνομετρική ανίσωση!

Τριγωνομετρική ανίσωση!

Re: Τριγωνομετρική ανίσωση!

Re: Τριγωνομετρική ανίσωση!

Re: Τριγωνομετρική ανίσωση!

Μέλη σε σύνδεση