Μια ανισότητα!

#1

Αν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί x,y,z

είναι τέτοιοι ώστε $xy+yz+zx\geq 3,$ να δείξετε ότι

$(x+1)(y+1)(z+1)\leq (x+y)(y+z)(z+x).$

Dreamkiller · #2

Παρατηρούμε ότι λόγω της συνθήκης τουλάχιστον ένας εκ των a,b,c

είναι μεγαλύτερος ή ίσος του

.
Αν και οι τρεις αριθμοί είναι μεγαλύτεροι του

, πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις $a+b \geq a+1$ , $b+c \geq b+1$ και $c+a\geq c+1$ .
Αλλιώς, δύο εξ αυτών, έστω οι

και

, βρίσκονται εκατέρωθεν ή πάνω στο

. Παρατηρούμε ότι από τη συνθήκη παίρνουμε $(c+a)(c+b) \geq c^2+3 \geq 2(c+1)$
Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι $2(a+b) \geq (a+1)(b+1) \Leftrightarrow (a-1)(b-1) \leq 0$ , που ισχύει.
Και στις δύο περιπτώσεις η ισότητα ισχύει όταν a=b=c=1

.

Μια ανισότητα!

Μια ανισότητα!

Re: Μια ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση