Με παράμετρο

#1

Για ποιες τιμές της σταθερής

υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{ x+f(y)=af(y+f(x)) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R};$

#2

Μια ίσως υπερβολική αντιμετώπιση, αλλά δεν βρήκα κάτι απλούστερο.

Καταρχάς, για $\displaystyle{a=0}$ , η δοθείσα γίνεται $\displaystyle{f(y)+x=0}$ για κάθε $\displaystyle{x,y}$ και φανερά δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Για $\displaystyle{a=1}$ είναι φανερό ότι η ταυτοτική συνάρτηση "δουλεύει".

Ας είναι τώρα $\displaystyle{a\ne 0,1.}$

Θέτουμε στη δοθείσα $\displaystyle{x\to -f(y)}$ , οπότε λαμβάνουμε $\displaystyle{af\Big(y+f(-f(y))\Big)=0.}$ Επειδή είναι $\displaystyle{a\ne 0}$ έχουμε

$\displaystyle{f\Big(y+f(-f(y))\Big)=0}$ για κάθε $\displaystyle{y}$ . Ειδικότερα, για $\displaystyle{y=0}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{f(f(-f(0)))=0.}$

Δηλαδή ο αριθμός $\displaystyle{q=f(-f(0))}$ είναι ρίζα της $\displaystyle{f}$ .

Θέτοντας τώρα στην αρχική $\displaystyle{x\to q}$ βρίσκουμε $\displaystyle{q+f(y)=af(y)}$ για κάθε $\displaystyle{y,}$ άρα (αφού $\displaystyle{a\ne 1}$ )

$\displaystyle{f(y)=\frac{q}{a-1}}$ για κάθε $\displaystyle{y}$ . Δηλαδή η $\displaystyle{f}$ είναι σταθερή. Είναι όμως φανερό, ότι καμία σταθερή συνάρτηση δεν ικανοποιεί την αρχική συνθήκη.

Άρα τελικά, η ζητούμενη τιμή του $\displaystyle{a}$ είναι η $\displaystyle{1.}$

Με παράμετρο

Με παράμετρο

Re: Με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση