Γεωμετρείν 30

Δημήτρης Μυρογιάννης · #1

Έστω τρίγωνο ABC

με γωνίες

και

.
Επί της πλευράς

λαμβάνουμε σημείο

τέτοιο ώστε BE=AC

και

. Βρείτε τον αριθμό των μοιρών που εκφράζει το

.

: ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 30.PNG (18.08 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

#2

καλημέρα με τριγωνομετρία
---------------------------------
AB=c,~~ AC=b

$\displaystyle{\vartriangle ABC\rightarrow \frac{c}{\sin 2x}=\frac{b}{\sin 3x},~~(1)}$

$\displaystyle{\vartriangle ABE\rightarrow \frac{c}{\sin 4x}=\frac{b}{\sin 7x},~~(2)}$

$\displaystyle{(1),(2)\stackrel{(:),sin 4x=2\sin 2x~\cos 2x}\longrightarrow \sin 7x=2\sin 3x~ \cos 2x\Rightarrow \sin 7x=\sin 5x+\sin x\Rightarrow }$

$\displaystyle{\sin x=\sin 7x-\sin 5x\Rightarrow \sin x=2\sin x~\cos 6x\Rightarrow \cos 6x=\frac{1}{2}\Rightarrow \boxed{x=10^o}}$

Ιστοσελίδα · #3

: Γεωμετρείν-30.png (12.71 KiB) Προβλήθηκε 525 φορές

Καλησπέρα Φωτεινή και Δημήτρη. Μια γεωμετρική λύση.

Το τρίγωνο EAC

είναι ισοσκελές, οπότε $E\widehat CA = E\widehat AC = 2x$ και $A\widehat EB = 4x$ (σαν εξωτερική γωνία του τριγώνου EAC

). Από το μέσο

του

φέρω κάθετη προς αυτό, η οποία τέμνει τη διχοτόμο της $A\widehat EB$ στο

και την

στο

.

Τα ορθογώνια τρίγωνα ZED,ZBD

καθώς και τα KED,KBD

είναι ίσα (κάθετες πλευρές αντίστοιχα ίσες). Το τρίγωνο ZBE

είναι ισοσκελές και ίσο με το EAC

από $\Gamma - \Pi - \Gamma$ ( ZB = ZE = EA = EC

) και το τρίγωνο KBE

ισοσκελές ( KB = KE

).

Τα τρίγωνα KEZ,KBZ

είναι ίσα από $\Pi - \Pi - \Pi$ και θα ισχύει $K\widehat BZ = 3x - 2x = x\mathop = \limits^{\iota \sigma .\tau \rho \iota \gamma \omega \nu .} K\widehat EZ\mathop = \limits^{4x - 3x} A\widehat EK$ . Τα τρίγωνα KEA,KEZ

είναι ίσα από $\Pi - \Gamma - \Pi$ καθώς και με το τρίγωνο KBZ

, συνεπώς $A\widehat KE = E\widehat KZ = B\widehat KZ = \displaystyle\frac{{{{180}^ \circ }}}{3} = {60^ \circ }$ .

Από το ορθογώνιο KDB

με $B\widehat KD = {60^ \circ }$ : $3x = {30^ \circ }$ ή $x = {10^ \circ }$ .

Δημήτρης Μυρογιάννης · #4

Φωτεινή και Μιχάλη... και πάλι ευχαριστώ.
Φέρουμε την ημιευθεία

έτσι ώστε τελικά τα τρίγωνα BJE,AEC

να είναι ίσα.
Τα τρίγωνα AEJ, EJC

είναι ισοσκελή.
Φέρουμε την

έτσι ώστε το τρίγωνο BIE

να είναι και αυτό ισοσκελές.
Η

είναι μεσοκάθετος του

, από τις γωνίες των (90-3x)

το τετράπλευρο AEJI

εγγράψιμο και από το ισοσκελές BJA

το τρίγωνο AJE

είναι τελικά ισόπλευρο…. οπότε x=10

μοίρες.

: ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 30 ΛΥΣΗ.PNG (73.65 KiB) Προβλήθηκε 466 φορές

Γεωμετρείν 30

Γεωμετρείν 30

Re: Γεωμετρείν 30

Re: Γεωμετρείν 30

Re: Γεωμετρείν 30

Μέλη σε σύνδεση