Ανηφόρες και κατηφόρες...

[Γιώργος Απόκης]

Ένα αυτοκίνητο μπορεί να κινείται στην κατηφόρα με , σε οριζόντιο επίπεδο με και σε ανηφόρα με .

Το ταξίδι από την πόλη στην πόλη κράτησε ώρες, ενώ η επιστροφή κράτησε ώρες και λεπτά. Πόσο απέχουν οι πόλεις;

[Γιώργος Ρίζος]

Η κατηφόρα στο "πήγαινε" είναι (δυστυχώς) ανηφόρα στο "έλα", οπότε η συνολική διαδρομή

είχε διάρκεια ώρες.

Παρατηρούμε ότι η ταχύτητα στην ανηφόρα είναι χαμηλότερη της ταχύτητας σε ευθεία και αντίστοιχα η ταχύτητα στην κατηφόρα είναι υψηλότερη της ταχύτητας σε ευθεία.

Οπότε, αν κινήθηκε ώρες σε κατηφόρα και σε ανηφόρα διάνυσε την ίδια απόσταση σαν να κινήθηκε ώρες σε ευθεία.

Συνολικά κινήθηκε για ώρες με ταχύτητα και διένυσε , οπότε η απόσταση των πόλεων είναι

edit: Παρακαλώ δείτε τη διόρθωση στις παρακάτω αναρτήσεις!

[Γιώργος Απόκης]

Η κατηφόρα στο "πήγαινε" είναι (δυστυχώς) ανηφόρα στο "έλα", οπότε η συνολική διαδρομή

είχε διάρκεια ώρες.

Παρατηρούμε ότι η ταχύτητα στην ανηφόρα είναι χαμηλότερη της ταχύτητας σε ευθεία και αντίστοιχα η ταχύτητα στην κατηφόρα είναι υψηλότερη της ταχύτητας σε ευθεία.

Οπότε, αν κινήθηκε ώρες σε κατηφόρα και σε ανηφόρα διάνυσε την ίδια απόσταση σαν να κινήθηκε ώρες σε ευθεία.

Συνολικά κινήθηκε για ώρες με ταχύτητα και διένυσε , οπότε η απόσταση των πόλεων είναι

Φοβερή λύση!

[Mihalis_Lambrou]

Ένα αυτοκίνητο μπορεί να κινείται στην κατηφόρα με , σε οριζόντιο επίπεδο με και σε ανηφόρα με .

Το ταξίδι από την πόλη στην πόλη κράτησε ώρες, ενώ η επιστροφή κράτησε ώρες και λεπτά. Πόσο απέχουν οι πόλεις;

Είναι γνωστό και απλό ότι ο μέσος όρος της ταχύτητας ενός πήγαινε-έλα ταξιδιού που έγινε με ταχύτητες , αντίστοιχα, είναι ο αρμονικός μέσος των . Εδώ, στις ανηφόρες που έγιναν κατηφόρες στην επιστροφή, και αντίστροφα, είναι .

Δηλαδή όσο η ταχύτητα στο ίσιωμα. Με άλλα λόγια, είναι σαν να πήγε το αυτοκίνητο με σταθερή ταχύτητα 63 km όλο το ταξίδι. Είναι τώρα εύκολο να δούμε ότι η απόσταση των πόλεων είναι 273 km.

Φιλικά,

Μιχάλης

[Γιώργος Ρίζος]

Κατ' αρχήν είδα τα ως γιατί ... με βόλευε!

Προφανώς έχω λάθος στο συλλογισμό, γιατί δεν κινήθηκε για ίση ώρα σε ανηφόρα και κατηφόρα, αλλά οι διαδρομές ήταν ίσες.

Τώρα, πως βγήκε σωστό αποτέλεσμα, ο Υπ. Συγκοινωνιών ίσως να ξέρει...

Ως συγνώμη, δίνω το παρακάτω πρόβλημα (παραλλαγή ενός θέματος που έχει ο Μπάμπης Τουμάσης στη Διδακτική των Μαθηματικών)

Σε μία διαδρομή κινηθήκαμε για από τη Χαλκιδική για Θεσσαλονίκη, με μέση ταχύτητα . Στη συνέχεια για ακόμα , από Θεσσαλονίκη προς Βέροια, μέσω της Εγνατίας οδού, είχαμε μέση ταχύτητα .
Η μέση ταχύτητά μας σε ολόκληρη τη διαδρομή είναι ή όχι ; Γιατί ;

Μπορείτε είτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο του Μιχάλη (βλέπετε παραπάνω), είτε να το λύσετε με τις εξισώσεις ευθ. ομαλής ταχύτητας.

[Γιώργος Απόκης]

Μετά τις πολύ ωραίες λύσεις από Γιώργο και Μιχάλη, ας δώσω την... ανιαρή δική μου!

Έστω οι διαδρομές αντίστοιχα σε κατηφόρα, ίσιωμα και ανηφόρα (στο πήγαινε). Τότε οι διαδρομές θα είναι στην επιστροφή.

Ισχύουν και . Aπαλείφοντας (ΕΚΠ=) έχουμε και .

Προσθέτοντας κατά μέλη:

[Γιώργος Απόκης]

Κατ' αρχήν είδα τα ως γιατί ... με βόλευε!

Προφανώς έχω λάθος στο συλλογισμό, γιατί δεν κινήθηκε για ίση ώρα σε ανηφόρα και κατηφόρα, αλλά οι διαδρομές ήταν ίσες.

Τώρα, πως βγήκε σωστό αποτέλεσμα, ο Υπ. Συγκοινωνιών ίσως να ξέρει...

Ως συγνώμη, δίνω το παρακάτω πρόβλημα (παραλλαγή ενός θέματος που έχει ο Μπάμπης Τουμάσης στη Διδακτική των Μαθηματικών)

Σε μία διαδρομή κινηθήκαμε για από τη Χαλκιδική για Θεσσαλονίκη, με μέση ταχύτητα . Στη συνέχεια για ακόμα , από Θεσσαλονίκη προς Βέροια, μέσω της Εγνατίας οδού, είχαμε μέση ταχύτητα .
Η μέση ταχύτητά μας σε ολόκληρη τη διαδρομή είναι ή όχι ; Γιατί ;

Μπορείτε είτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο του Μιχάλη (βλέπετε παραπάνω), είτε να το λύσετε με τις εξισώσεις ευθ. ομαλής ταχύτητας.

Ο Δαίμων των Μαθηματικών και των μαθηματικών...