Δύσκολη συναρτησιακή

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύουν τα εξής:

(1) (x+y)f(x+y)+1=(xf(x)+1)(yf(y)+1)

για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ και

(2) η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$

#2

Είναι συναρτησιακή τύπου Cauchy: g(x+y)=g(x)g(y).

Αν υπάρχει $a: \ g(a)=0$ τότε $g(x+a)=g(x)g(a)=0, \ \forall x$ οπότε $g\equiv 0,$ δηλαδή xf(x)+1=0.

Για

έχουμε άτοπο.

Αν $g(x)\ne 0$ τότε g(2x)=g^2(x)>0

οπότε η $\ln g(x)$ είναι Cauchy και συνεπώς $\displaystyle g(x)=e^{cx}.$

Τελικά, $\displaystyle { f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{e^{cx}-1}{x} \ , & x\ne 0 \\ \displaystyle \ \ \ c \ , & x=0 \end{cases}.}$

Δύσκολη συναρτησιακή

Δύσκολη συναρτησιακή

Re: Δύσκολη συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση