Αγορά απορρυπαντικού

kwstas12345 · #1

Καθε απορρυπαντικό τύπου TIDE

περιέχει ένα κουπόνι πάνω στο οποίο αναγράφεται ένα από τα γράμματα T,I,D,E

.Άν ο πελάτης συγκεντρώσει όλα τα γράμματα της λέξης TIDE

παίρνει ένα πακέτο δωρεάν.Nα βρείτε την πιθανότητα να κερδίσει

πακέτα, όπου $\displaystyle i=0,1,2$ ένα άτομο που αγοράζει

πακέτα απορρυπαντικού.Υποθέστε ότι όλα τα γράμματα έχουν την ίδια πιθανότητα να εμφανισθούν σε ένα κουπόνι.

#2

Μια απορία. Έστω ότι στα οκτώ πακέτα βρήκα τα γράμματα T,T,I,I,D,E,E,E. Αυτό μετράει σαν να κερδίσαμε ένα απορρυπαντικό ή μήπως πρέπει να εξετάσουμε και την πιθανότητα στο απορρυπαντικό που κερδίσαμε υπάρχει το γράμμα D οπότε κερδίζουμε και δεύτερο απορρυπαντικό;

kwstas12345 · #3

Δημήτρη, νομίζω πως μετράει για ένα απορυπαντικό.

#4

[Ξαναστέλνω (διορθωμένη) την λύση που είχα στείλει πριν αρκετές ώρες. (Ευχαριστώ τον Κώστα για την υπόδειξη.)]

Προφανώς οι τρεις ζητούμενες πιθανότητες έχουν άθροισμα

, οπότε αρκεί να υπολογίσουμε τις δύο ευκολότερες: πιστεύω πως αυτές είναι οι πιθανότητες για κανένα κουτί και για δύο κουτιά.

Στην δεύτερη περίπτωση (καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα) μιλάμε ουσιαστικά για τον αριθμό λέξεων μήκους

που μπορούν να σχηματιστούν από τα τέσσερα γράμματα, με κάθε ένα από αυτά να εμφανίζεται ακριβώς δύο φορές. Ο αριθμός αυτών των λέξεων ισούται προς $\frac{8!}{2!2!2!2!}=2520$ , ενώ ο αριθμός όλων των δυνατών λέξεων/επιλογών προφανώς ισούται προς $4^{8}=65536$ , συνεπώς η ζητούμενη πιθανότητα (να κερδηθούν δύο κουτιά) ισούται προς $\frac{2520}{65536}\simeq0,03845$ .

Στην πρώτη περίπτωση (χειρότερο δυνατό αποτέλεσμα) χρειαζόμαστε τον αριθμό των λέξεων που σχηματίζονται από τρία το πολύ γράμματα. Προφανώς υπάρχουν

λέξεις που σχηματίζονται από ακριβώς ένα γράμμα. Για ακριβώς δύο δεδομένα γράμματα παρατηρούμε ότι υπάρχουν 2^8-2=254

λέξεις, και επειδή υπάρχουν $\binom{4}{2}=6$ τρόποι επιλογής των δύο γραμμάτων, συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν $6\cdot254=1524$ λέξεις που σχηματίζονται από ακριβώς δύο γράμματα. Επεκτείνοντας αυτόν τον τρόπο σκέψης βρίσκουμε ότι υπάρχουν $4\cdot(3^{8}-3\cdot(2^{8}-2)-3)=23184$ λέξεις που σχηματίζονται από ακριβώς τρία γράμματα. Συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός των λέξεων που σχηματίζονται από τρία το πολύ γράμματα ισούται προς 4+1524+23184=24712

, και η αντίστοιχη πιθανότητα (να μην κερδηθεί κανένα κουτί) ισούται προς $\frac{24712}{65536}\simeq0,37707$ .

Οι πιθανότητες λοιπόν να κερδίσει κανείς

,

κουτιά απορρυπαντικού είναι αντίστοιχα 0,37707

,

.

[Οι απαντήσεις διορθωμένες κατά την παρέμβαση του Δημήτρη αμέσως παρακάτω.]

Γιώργος Μπαλόγλου

#5

Γιώργο, έχεις ένα αριθμητικό λάθος αφού $\displaystyle{\frac{8!}{2!2!2!2!} = \frac{7!}{2!} = 2520.}$

Για τον δεύτερο υπολογισμό μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απευθείας την αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού. Για $1 \leqslant i \leqslant 4$ γράφουμε A_i

για το σύνολο των περιπτώσεων όπου δεν πήραμε το κουπόνι

. Ενδιαφερόμαστε για το μέγεθος του συνόλου $|A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4|$ και από την αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού αυτό ισούται με $\displaystyle{ \sum_{\emptyset \neq I \subseteq [4]}(-1)^{|I| + 1} |A_I|.}$ Εδώ, με [4]

συμβολίζουμε το σύνολο $\{1,2,3,4\}$ και με A_I

το σύνολο $\displaystyle{ \bigcap_{i \in I}A_i}$ . Παρατηρούμε ότι αν |I| = k

τότε

και άρα $\displaystyle{ |A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4| = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \binom{4}{k} (4-k)^8 = 4 \cdot 3^8 - 6 \cdot 2^8 + 4 = 24712.}$

Αγορά απορρυπαντικού

Αγορά απορρυπαντικού

Re: Αγορά απορρυπαντικού

Re: Αγορά απορρυπαντικού

Re: Αγορά απορρυπαντικού

Re: Αγορά απορρυπαντικού

Μέλη σε σύνδεση