Άσκηση στούς Μιγαδικούς

rastaffari · #1

Έστω $Z_{1},Z_{2},Z_{3}$ μιγαδικοί αριθμοί μη μηδενικοί έτσι ώστε
$\left|Z_{1}+Z_{2} \right|=\left|Z_{3} \right|$ , $\left|Z_{1}+Z_{3} \right|=\left|Z_{2} \right|$ ,
$\left|Z_{2}+Z_{3} \right|=\left|Z_{1} \right|$ , $\left|Z_{1} \right|=\left|Z_{2} \right|=\left|Z_{3} \right|$
Να δειχθεί 'οτι $Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}=0$
Καλό σας Βράδυ

Παναγιώτης Μπίσδας

kwstas12345 · #2

Mια λύση:

$\displaystyle \left|z_{1}+z_{2} \right|=\left|z_{3} \right|\left|z_{1}+z_{2} \right|^{2}=\left|z_{3} \right|^{2}$

$\displaystyle \Rightarrow z_{1}\bar{z_{2}}+z_{2}\bar{z_{2}}=\left|z_{3} \right|^{2}-\left|z_{2} \right|^{2}-\left|z_{1} \right|^{2}$ (1)

$\displaystyle \left|z_{2}+z_{3} \right|=\left|z_{1} \right|\left|z_{2}+z_{3} \right|^{2}=\left|z_{1} \right|^{2}$

$\displaystyle \Rightarrow z_{2}\bar{z_{3}}+z_{3}\bar{z_{2}}=\left|z_{1} \right|^{2}-\left|z_{2} \right|^{2}-\left|z_{3} \right|^{2}$ (2)

$\displaystyle \left|z_{3}+z_{1} \right|=\left|z_{2} \right|\left|z_{3}+z_{1} \right|^{2}=\left|z_{2} \right|^{2}$

$\displaystyle \Rightarrow z_{1}\bar{z_{3}}+z_{3}\bar{z_{1}}=\left|z_{2} \right|^{2}-\left|z_{3} \right|^{2}-\left|z_{1} \right|^{2}$ (3)

Άρα με πρόσθεση κατα μελη των (1),(2),(3):

$\displaystyle \left|z_{1} \right|^{2}+\left|z_{2} \right|^{2}+\left|z_{3} \right|^{2}+z_{1}\bar{z_{3}}+z_{3}\bar{z_{1}}+z_{2}\bar{z_{1}}+z_{1}\bar{z_{2}}+\bar{z_{2}}z_{3}+\bar{z_{3}}z_{2}=0$

$\displaystyle \Rightarrow \left|z_{1}+z_{2}+z_{3} \right|^{2}=0\Rightarrow z_{1}+z_{2}+z_{3}=0$

G.Tsikaloudakis · #3

Βλέπε 'Μιγαδικοί '' Γ. Τσικαλουδάκη σελ. 122 ασκ. 5.34
(η 4η συνθήκη δεν είναι αναγκαία)

parmenides51 · #4

μια λύση χωρίς την 4η συνθήκη εδώ

Λάμπρος Ευσταθίου · #5

Παρατηρούμε επίσης ότι αν ισχύει ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0$ , τότε

$\begin{cases} |{{z}_{1}}|=|{{z}_{2}}+{{z}_{3}}| \\ |{{z}_{2}}|=|{{z}_{1}}+{{z}_{3}}| \\ |{{z}_{3}}|=|{{z}_{2}}+{{z}_{1}}| \\ \end{cases}$

χωρίς κατ' ανάγκη $|{{z}_{1}}|=|{{z}_{2}}|=|{{z}_{3}}|$ .

Άσκηση στούς Μιγαδικούς

Άσκηση στούς Μιγαδικούς

Re: Άσκηση στούς Μιγαδικούς

Re: Άσκηση στούς Μιγαδικούς

Re: Άσκηση στούς Μιγαδικούς

Re: Άσκηση στούς Μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση