Θεωρία αριθμών

#1

Έστω

ακέραιος τέτοιος ώστε ο αριθμός p=6k+1

να είναι πρώτος.
Έστω ακόμη $m=2^{p}-1 .$

Να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle \frac{2^{m-1}-1}{127m}$ είναι ακέραιος.

Dreamkiller · #2

Λόγω της ταυτότητας $2^{ab}-1=(2^a-1)(1+2^a+...+2^{(b-1)a})$ παρατηρούμε πως αν x|y

τότε

.

Θέτοντας $\displaystyle s=2^{p-1}-1$ το δοθέν κλάσμα γράφεται $\displaystyle \frac{(2^s-1)(2^s+1)}{(2^7-1)(2^p-1)}$ .

Επειδή $p \neq 7$ , έχουμε πως $(2^{7}-1,2^{p}-1)=2^{(7,p)}-1=2^1-1=1$ .

Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι κάθε παράγοντας του γινομένου στον παρανομαστή διαιρεί το 2^s-1

.
Πράγματι, από την αρχική παρατήρηση έχουμε πως $\displaystyle {3|p-1 \Rightarrow 2^3-1 |2^{p-1}-1 \Rightarrow 2^7-1 |2^{2^{p-1}-1}-1=2^s-1}$
Επίσης από το θεώρημα του Euler $\displaystyle {p|2^{p-1}-1 \Rightarrow 2^{p}-1 | 2^{2^{p-1}-1}-1=2^s-1}$ οπότε τελειώσαμε.

Θεωρία αριθμών

Θεωρία αριθμών

Re: Θεωρία αριθμών

Μέλη σε σύνδεση