Ακρότατο και ολοκλήρωμα

mathxl · #1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle\ f(x)=\int_{0}^{1}\frac{|t-x|}{t+1}\ \mathrm{dt}$ με $\displaystyle{x \in R}$ . Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης και να βρείτε την θέση στην οποία παρουσιάζεται η τιμή αυτή.

#2

θα διακρίνουμε περιπτώσεις

1. $\displaystyle{x<0\le t\le 1}$ τότε $\displaystyle{f(x)=\int_{0}^{1}{(1-\frac{x+1}{t+1})dt}=1-(x+1)ln2}$

2. $\displaystyle{0\le x \le 1\Rightarrow f(x)=-\int_{0}^{x}{(1-\frac{x+1}{t+1})dt}+\int_{x}^{1}{(1-\frac{x+1}{t+1})dt}=-x+(x+1)ln(x+1)+(1-x)-(x+1)(ln2-ln(x+1))}$
ώστε $\displaystyle{f(x)=-2x+1-(x+1)(ln2-2ln(x+1)),0\le x\le 1}$

3. $\displaystyle{0\le t\le 1<x\Rightarrow f(x)=-1+(x+1)ln2}$

Ευκολα βρίσκουμε ότι
η τρίκλαδη f είναι παραγωγίσιμη στο R (ως ολοκλήρωμα συνεχούς) με $\displaystyle{f'(x)<0,x<\sqrt{2}-1}$ και $\displaystyle{f'(x)>0,x>\sqrt{2}-1}$
Άρα μοναδικό ΜIN το $\displaystyle{f(\sqrt{2}-1)=3-2\sqrt{2}}$

mathxl · #3

Ροδόλφε ! Η άσκηση είναι από 1992 Tokyo Institute of Technology προταθείσα από Kunny στο μαθλινκς. Η πληρέστερη λύση δόθηκε από τον Βιργίλιο Νικόλα και είναι σαν του Ροδόλφου.

Ακρότατο και ολοκλήρωμα

Ακρότατο και ολοκλήρωμα

Re: Ακρότατο και ολοκλήρωμα

Re: Ακρότατο και ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση