Είναι άραγε παραγωγίσιμη;

#1

Δίνεται η συνάρτηση: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει ότι: f^3(x)+f(x)+x^3=27

.
α) Να εξετάσετε αν η

είναι συνεχής στο 3.
β) Να εξετάσετε αν η

είναι παραγωγίσιμη στο 3.

#2

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει ότι: .
α) Να εξετάσετε αν η είναι συνεχής στο 3.
β) Να εξετάσετε αν η είναι παραγωγίσιμη στο 3.

Γράφω μία λύση εκτός σχολικής ύλης, αλλά υπάρχει και σχολική. Την αφήνω για άλλους. Τρέέέέέχω...

Η εξίσωση y^3+y=27-x

, ως περιττού βαθμού πολυωνυμική, έχει (για κάθε σταθερό

) λύση. Είναι και μοναδική γιατί η y^3+y

είναι γνήσια αύξουσα. Άρα η

αντιστρέφεται. Με απλό έλεγχο διαπιστώνουμε ότι $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{27 -x^3-x}$ (*).
Η $f^{-1}}$ αυτή εἰναι και συνεχής και παραγωγίσιμη (απλό). Άρα το ίδιο συμβαίνει και με την

(είπαμε, είναι εκτός σχολικής ύλης. Το τελευταίο θέλει κανόνα αλυσίδας).

Φιλικά,

Μιχάλης

(*) Χρησιμοποίησα εδώ το σύμβολο $\sqrt [3]{}$ καί για την περίπτωση που η υπόριζη ποσότητα είναι αρνητική. Αλλιώς πρέπει να ακολουθήσουμε την πρακτική του Σχολικού και να γράψουμε $-\sqrt[3]{-A}$ στη θέση του $\sqrt[3]{A}$ .
Σημειώνω ότι το εννιαίο του συμβόλου που χρησιμοποίησα, είναι συνήθης πρακτική σε αρκετές χώρες στο εξωτερικό, και ήταν παλαιότερα σύνηθες στην χώρα μας. Πιστεύω ότι είναι καλύτερη πρακτική, παρά τις κάποιες δυσκολίες που εμφανίζει. Το παραπάνω παράδειγμα είναι μία από τις περιπτώσεις που το εννιαίο σύμβολο πλεονεκτεί έναντι του δίκλαδου. Διαλέγεις και παίρνεις.

pito · #3

Για το (α). Στην δοσμένη σχέση για χ=3 είναι $f(3)(f^{2}(3)+1)=0 \,\, \alpha \rho \alpha f(3)=0$ , έτσι αρκεί $\displaystyle \lim_{ x\rightarrow {3}}(f(x))=0$ . Είναι $f(x)=\frac{27-x^{3}}{f^{2}(x)+1}$ άρα $|f(x)|\leq |27-x^{3}| \Rightarrow -|27-x^{3}|\leq f(x)\leq |27-x^{3}|$ και από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι $\displaystyle \lim_{ x\rightarrow 3}{f(x)}=0$

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Διορθώθηκε ο κώδικας LATEX.

pito · #4

Για το (β) κάτι μάλλον μου ξεφεύγει. Αρκεί να δείξω ότι το $\lim_{x\rightarrow 3}(\frac{f(x)}{x-3})$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Διαιρώ τη δοσμένη σχέση με το
$(x-3)^{3}$ και θέτω l= $\lim_{x\rightarrow 3}(\frac{f(x)}{(x-3)})$ , όμως $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{1}{(x-3)^{2}}=+\propto \kappa \alpha \iota \tau o\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^{2}+3x+9}{x-3}$ δεν υπάρχει οπότε;;;;

pito · #5

Λάθος από latex, εννοώ ότι το $\lim_{x\rightarrow 3}(\frac{x^{2}+3x+9}{x-3})$ δεν υπάρχει( τα πλευρικά όρια στο 3 βγαίνουν $+\propto$ και $-\propto$ ) αλλά δεν ξέρω αν συμπεραίνω τότε ότι δεν υπάρχει η f'(3)

Pla.pa.s · #6

Παραθέτω μια σχολική λύση (ελπίζω χωρίς λάθη) η οποία αποδεικνύει τα ζητούμενα για κάθε $x_{0} \in \mathbb R$
Έστω $x_{0} \in \mathbb R$ κι άρα θα είναι $f^{3}(x_{0})+f(x_{0})+x_{0}^{3}=27$ κι αφαιρώντας κατά μέλη από την αρχική, έχουμε

$\displaystyle{f^{3}(x)-f^{3}(x_{0})+f(x)-f(x_{0})+x^{3}-x_{0}^{3}=0} \Leftrightarrow \left(f(x)-f(x_{0})\right)\left(f^{2}(x)+f(x)f(x_{0})+f^{2}(x_{0})+1\right)=x_{0}^{3}-x^{3} \Rightarrow \left|f(x)-f(x_{0})\right|=\frac{\left|x_{0}^{3}-x^{3}\right|}{f^{2}(x)+f(x)f(x_{0})+f^{2}(x_{0})+1} \leq \left|x_{0}^{3}-x^{3}\right|}$ ,

διότι ο παρονομαστής είναι πάντα θετικός και μεγαλύτερος του

(για να το αποδείξουμε θέτουμε πολυώνυμο ως προς f(x)

).
Τελικά $-\left|x_{0}^{3}-x^{3}\right|+f(x_{0}) \leq f(x) \leq \left|x_{0}^{3}-x^{3}\right|+f(x_{0})$ και πέρνοντας τα όρια των ακραίων μελών καταλήγουμε από κριτήριο παρεμβολής ότι η

είναι συνεχής σε κάθε $x_{0} \in \mathbb R$ (και φυσικά για $x_{0}=3$ - επίσης επειδή από την αρχική είναι $f(3)(f^{2}(3)+1)=0$ καταλήγουμε f(3)=0

και τόσο είναι και το όριο της

στο

.).

Ως προς την παραγωγισιμότητα, έχουμε $\displaystyle{f(x)-f(x_{0})=\frac{x_{0}^{3}-x^{3}}{f^{2}(x)+f(x)f(x_{0})+f^{2}(x_{0})+1} \Rightarrow \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\frac{-x^{2}-xx_{0}-x_{0}^{2}}{f^{2}(x)+f(x)f(x_{0})+f^{2}(x_{0})+1}}$

και παίρνοντας τα όρια στο $x_{0}$ (κι επειδή η

είναι συνεχής και ο παρονομαστής του δεξιού κλάσματος είναι πάντα θετικός υπάρχουν τα όρια) έχουμε $\displaystyle{f'(x_{0})=\frac{-3x_{0}^{2}}{3f^{2}(x_{0})+1}}$ για κάθε $x_{0} \in \mathbb R$ (κι άρα f'(3)=-27

).

#7

pito έγραψε:Για το (β) κάτι μάλλον μου ξεφεύγει. Αρκεί να δείξω ότι το $\lim_{x\rightarrow 3}(\frac{f(x)}{x-3})$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Διαιρώ τη δοσμένη σχέση με το
$(x-3)^{3}$ και θέτω l= $\lim_{x\rightarrow 3}(\frac{f(x)}{(x-3)})$ , όμως $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{1}{(x-3)^{2}}=+\propto \kappa \alpha \iota \tau o\lim_{χ\rightarrow 3} \frac{x^{2}+3χ+9}{x-3}$ δεν υπάρχει οπότε;;;;

Μετά από την υποδειγματική αντιμετώπιση του Pla.pa.s, ας συνεχίσω τον τρόπο του pito.

Για $x \neq 3$ διαιρούμε την αρχική σχέση με x-3

και έχουμε ότι:

$\displaystyle{f^2(x)\frac{f(x)}{x-3}+\frac{f(x)}{x-3}=\frac{(3-x)(9+3x+x^2)}{x-3}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{f(x)}{x-3}=\frac{-9-3x-x^2}{f^2(x)+1}}$ ,

όπου

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 3}\frac{-9-3x-x^2}{f^2(x)+1}=\frac{-27}{f^2(3)+1}=-27}$ ,
αφού η f είναι συνεχής στο 3.

Συνεπώς:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 3}\frac{f(x)}{x-3}=-27}$ , δηλαδή f'(3)=-27

.

#8

pito έγραψε:Για το (β) κάτι μάλλον μου ξεφεύγει. Αρκεί να δείξω ότι το $\lim_{x\rightarrow 3}(\frac{f(x)}{x-3})$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Διαιρώ τη δοσμένη σχέση με το
$(x-3)^{3}$ και θέτω l= $\lim_{x\rightarrow 3}(\frac{f(x)}{(x-3)})$ , όμως $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{1}{(x-3)^{2}}=+\propto \kappa \alpha \iota \tau o\lim_{χ\rightarrow 3} \frac{x^{2}+3χ+9}{x-3}$ δεν υπάρχει οπότε;;;;

Παρακαλώ pito διόρθωσε τον κώδικα Latex, για να καταλάβουμε τι θέλεις να πεις.

Μόλις τον διορθώσεις, θα σβήσω το παρόν μήνυμα.

Καλό είναι να κάνεις "προεπισκόπιση" πριν στείλεις ένα μήνυμα ή, έστω, να του ρίχνεις μιά ματιά αφού το στείλεις.

pito · #9

Kαλημέρα το διόρθωσα αμέσως μετά αν δείτε παραπάνω αλλά δεν γνωρίζω πως να το διορθώσω στο ήδη απεσταλμένο μήνυμα. Προεπισκόπηση κάνω πάντα αλλά κάτι θα μου ξέφυγε. Ευχαριστώ.

Γιώργος Απόκης · #10

pito έγραψε:Kαλημέρα το διόρθωσα αμέσως μετά αν δείτε παραπάνω αλλά δεν γνωρίζω πως να το διορθώσω στο ήδη απεσταλμένο μήνυμα. Προεπισκόπηση κάνω πάντα αλλά κάτι θα μου ξέφυγε. Ευχαριστώ.

Καλημέρα. Μάλλον έχεις γράψει με πληκτρολόγιο στα ελληνικά μέσα στο Latex...

pito · #11

Αυτό είχα κάνει προφανώς

#12

pito έγραψε:Kαλημέρα το διόρθωσα αμέσως μετά αν δείτε παραπάνω αλλά δεν γνωρίζω πως να το διορθώσω στο ήδη απεσταλμένο μήνυμα. Προεπισκόπηση κάνω πάντα αλλά κάτι θα μου ξέφυγε. Ευχαριστώ.

Πατάς το κουμπί "επεξεργασία".
Αφού κάνεις τις επεμβάσεις σου, πατάς "αποστολή".

Είναι άραγε παραγωγίσιμη;

Είναι άραγε παραγωγίσιμη;

Re: Είναι άραγε παραγωγίσιμη;

Re: Είναι άραγε παραγωγίσιμη;

Re: Είναι άραγε παραγωγίσιμη;

Re: Είναι άραγε παραγωγίσιμη;

Re: Είναι άραγε παραγωγίσιμη;

Re: Είναι άραγε παραγωγίσιμη;

Re: Είναι άραγε παραγωγίσιμη;

Re: Είναι άραγε παραγωγίσιμη;

Re: Είναι άραγε παραγωγίσιμη;

Re: Είναι άραγε παραγωγίσιμη;

Re: Είναι άραγε παραγωγίσιμη;

Μέλη σε σύνδεση