Πολλή δουλειά σήμερα!

KARKAR · #1

Α) Παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο: $x^{6}+x^{4}+x^{2}+1$

Β) Λύστε την εξίσωση: $42x^{4}+97x^{3} + 97x^{2} + 97x+42 = 0$

Γ) Βρείτε

διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι έχουν άθροισμα

και άθροισμα τετραγώνων 1261

#2

Α)

.

B) Το $x \neq 0$ , αφού το 0 δεν είναι ρίζα της εξίσωσης.

Συνεπώς διαιρούμε την εξίσωση με x^2

και βρίσκουμε: $\displaystyle{42x^2+97x+97+\frac{97}{x}+\frac{97}{x^2}=0 (I)$ .

Θέτουμε $\displaystyle{x+\frac{1}{x}=y}$ , οπότε $\displaystyle{x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2}$ ,

οπότε η (Ι) γίνεται: $42(y^2-2)+97y+97 = 0 \Leftrightarrow 42y^2+97y+13=0$ ,

με διακρίνουσα $\Delta=7.225$ και ρίζες $\displaystyle{y=\frac{-97 \pm 85}{84}}$ ,
δηλαδή $\displaystyle{y=-\frac{13}{6}}$ ή $\displaystyle{y=-\frac{1}{7}}$ .

* Αν $\displaystyle{y=-\frac{13}{6}}$ , έχουμε: $\displaystyle{x+\frac{1}{x}=-\frac{13}{6} \Leftrightarrow 6x^2+13x+6=0}$ ,
οπότε $\displaystyle{x=\frac{-13 \pm 5}{12}}$ , άρα $\displaystyle{x=-\frac{3}{2}}$ ή $\displaystyle{x=-\frac{2}{3}}$ .

* Α ν $\displaystyle{y=-\frac{1}{7}}$ , έχουμε: $\displaystyle{x+\frac{1}{x}=-\frac{1}{7} \Leftrightarrow 7x^2+x+7=0}$ ,
που έχει αρνητική διακρίνουσα (-195), άρα είναι αδύνατη.

#3

Α) Είναι $\displaystyle{x^6+x^4+x^2+1=(x^2+1)(x^4+1)}$

Β) Θεωρώντας τους διαιρέτες του σταθερού όρου καθώς και του μεγιστοβάθμιου και δημιουργώντας τις πιθανές ρίζες του ακέραιου αυτού πολυωνύμου έχουμε:

$\displaystyle{42x^4+97x^3+97x^2+97x+42=(3x+2)(2x+3)(7x^2+x+7)}$

Άρα η δοθείσα εξίσωση έχει δύο λύσεις τις $\displaystyle{x_1=-\frac{2}{3}, \ \ x_2=-\frac{3}{2}}$
(ο τρίτος παράγοντας ως δευτεροβάθμιο τριώνυμο έχει διακρίνουσα $\displaystyle{D=-195<0}$ άρα δεν έχει λύση στο $\displaystyle{R}$ εκτός κι αν ζητούμε λύσεις στο $\displaystyle{C}$ )

Γ) Έστω πως οι τέσσερις αυτοί διαδοχικοί όροι της γεωμετρικής προόδου είναι οι: $\displaystyle a,a\lambda ,a\lambda ^2,a\lambda ^3, \ \ (a, \lambda \in R)$
τότε θα είναι:
$\displaystyle a+a\lambda +a\lambda ^2+a\lambda ^3=13 \ \ (1)$
$\displaystyle (a)^2+(a\lambda)^2 +(a\lambda ^2)^2+(a\lambda ^3)^2 =1261 \ \ (2)$

Οι εξισώσεις (1) και (2) γίνονται: $\displaystyle{\displaystyle \left\{\begin{matrix} a(1+\lambda +\lambda ^2+\lambda ^3)=13 \ \ (3) \\a^2(1+\lambda^2+\lambda ^4+\lambda ^6)=1261 \ \ (4) \end{matrix}\right}$
ή άκόμα:
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} a(\lambda +1)(\lambda ^2+1)=13 \ \ (5)\\ a^2(\lambda ^2+1)(\lambda ^4+1)=1261 \ \ (6) \end{matrix}\right.$

Υψώνοντας την (5) στο τετράγωνο και διαιρώντας την με την (6) προκύπτει τελικά:

$\displaystyle 42\lambda ^4+97\lambda ^3+97\lambda ^2+97\lambda +42=0 \ \ (7)$

Αυτή σύμφωνα με το Β) ερώτημα έχει λύσεις: $\displaystyle \lambda _1=-\frac{2}{3}, \ \ \lambda _2=-\frac{3}{2}$

Έστω ότι $\lambda_1=-\frac{2}{3}$
Τότε θα είναι:
$\displaystyle a+a\lambda +a\lambda ^2+a\lambda ^3=13\Rightarrow \\\Rightarrow a(1+\lambda +\lambda ^2+\lambda ^3)=13\Rightarrow \\\Rightarrow a\left(\frac{\lambda ^4-1}{\lambda -1} \right)=13$
και μετά πράξεις $\displaystyle{a=27}$
οι υπόλοιποι τότε θα είναι $\displaystyle{-18, 12, -8}$
Για την άλλη τιμή θα βρούμε όμοια τους ίδιους αριθμούς με αντίστροφη σειρά.

(Ευχαριστώ το Θανάση για τη διόρθωση της πρώτης μου προσπάθειας)

Κώστας Δόρτσιος

Πολλή δουλειά σήμερα!

Πολλή δουλειά σήμερα!

Re: Πολλή δουλειά σήμερα!

Re: Πολλή δουλειά σήμερα!

Μέλη σε σύνδεση