Μιγαδικοί από το ό.έ.δ.

Leo · #1

Καλησπέρα. Έχω κολλήσει σε μία άσκηση μιγαδικών. Έχω λύσει τα δύο πρώτα ερωτήματα αλλά με έχει παιδεύσει το τρίτο.

Αν για τους μιγαδικούς ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$ ισχύει $Im\left(\bar{z}_{1}z_{2} \right)=Im\left(\bar{z}_{2}z_{3} \right)=Im\left(\bar{z}_{3}z_{1} \right)\neq 0$ να αποδείξετε ότι:
1) ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0$
2) $\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|+\left| z-{{z}_{3}} \right|\ge 3\left| z \right|,\forall z\in \mathbb{C}$
3) ${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|}^{2}}=3\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{3}} \right|}^{2}} \right)$
Η άσκηση είναι από το 1ο τεύχος του ό.έ.δ.http://www.operedidixe.gr/archive/issue1/

hsiodos · #2

Leo έγραψε:Καλησπέρα. Έχω κολλήσει σε μία άσκηση μιγαδικών. Έχω λύσει τα δύο πρώτα ερωτήματα αλλά με έχει παιδεύσει το τρίτο.

Αν για τους μιγαδικούς ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$ ισχύει $Im\left(\bar{z}_{1}z_{2} \right)=Im\left(\bar{z}_{2}z_{3} \right)=Im\left(\bar{z}_{3}z_{1} \right)\neq 0$ να αποδείξετε ότι:
1) ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0$
2) $\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|+\left| z-{{z}_{3}} \right|\ge 3\left| z \right|,\forall z\in \mathbb{C}$
3) ${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|}^{2}}=3\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{3}} \right|}^{2}} \right)$
Η άσκηση είναι από το 1ο τεύχος του ό.έ.δ.http://www.operedidixe.gr/archive/issue1/

Ένας τρόπος είναι να χρησιμοποιήσεις την γνωστή σχέση $\displaystyle{ \left| {\,z_1 - z_2 } \right|^2 + \left| {\,z_1 + z_2 } \right|^2 = 2\left| {\,z_1 } \right|^2 + 2\left| {\,z_2 } \right|^2 }$ σε συνδυασμό με το πρώτο από τα ζητούμενα.

Γιώργος

Leo · #3

Ευχαριστώ. Δεν το είχα σκεφτεί έτσι.

Μιγαδικοί από το ό.έ.δ.

Μιγαδικοί από το ό.έ.δ.

Re: Μιγαδικοί από το ό.έ.δ.

Re: Μιγαδικοί από το ό.έ.δ.

Μέλη σε σύνδεση