Ανισότητα στους πραγματικούς 4

Dreamkiller · #1

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς a,b,c

ισχύει ότι $\displaystyle a^2+b^2+c^2=\frac{2}{3}$ να δείξετε ότι

$\displaystyle (ab+bc+ca)^2+\frac{5}{9} \geq a^3+b^3+c^3+6abc$

G.Bas · #2

Dreamkiller έγραψε:Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει ότι $\displaystyle a^2+b^2+c^2=\frac{2}{3}$ να δείξετε ότι

$\displaystyle (ab+bc+ca)^2+\frac{5}{9} \geq a^3+b^3+c^3+6abc$

Θέτουμε $\displaystyle{a+b+c=p, ab+bc+ca=\frac{p^2-q^2}{3}}$ και $\displaystyle{abc=r}$ . Τότε ισχύει ότι $\displaystyle{r\leq \frac{(p-q)^2(p+2q)}{27}}$ .

Η Ανισότητα με τα παραπάνω δεδομένα παίρνει τη μορφή $\displaystyle{\frac{(p^2-q^2)^2}{9}+\frac{5}{9}\geq pq^2+3r+6r}$

ή

$\displaystyle{p^4+q^4+5\geq 2p^2q^2+3p^3+6q^3}$ . Η συνθήκη είναι τώρα της μορφής $\displaystyle{p^2+2q^2=2}$ .

Έχουμε λοιπόν να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{p^4+q^4+5\geq 2p^2q^2+3p^2+6q^3}$ με $\displaystyle{p^2+2q^2=2}$ .

Πολλαπλασιάζουμε με $\displaystyle{2}$ την Ανισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε και υψώνουμε στο τετράγωνο τη συνθήκη και παίρνουμε

$\displaystyle{2p^4+2q^4+10\geq 4p^2q^2+6p^3+12q^3}$ με $\displaystyle{4p^2q^2=4-p^4-4q^4}$ . Αντικαθιστούμε το $\displaystyle{4p^2q^2}$ και έχουμε οτι $\displaystyle{2p^4+2q^4+10\geq 4-p^4-4q^4+6p^3+12q^3}$ . Δηλαδή

$\displaystyle{3p^4+6q^4+6\geq 6p^3+12q^3}$ . Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{6=3p^2+6q^2}$ . Άρα, έχουμε να αποδείξουμε τώρα ότι $\displaystyle{3p^4+6q^4+3p^2+6q^2\geq 6p^3+12q^3}$ ,

όπου ισχύει αφού $\displaystyle{3(p^4+p^2)\geq 3\cdot 2p^3=6p^3}$ και $\displaystyle{6(q^4+q^2)\geq 6\cdot 2 q^3=12q^3}$ από AM - GM.

Ανισότητα στους πραγματικούς 4

Ανισότητα στους πραγματικούς 4

Re: Ανισότητα στους πραγματικούς 4

Μέλη σε σύνδεση