Σύνθεση στροφών (στο επίπεδο)

#1

Να δειχθεί ότι η σύνθεση δύο στροφών είναι στροφή, εκτός και αν πρόκειται για αντίθετες στροφές ίδιας γωνίας, οπότε είναι παράλληλη μεταφορά.

Γιώργος Μπαλόγλου

#2

Η στροφή στο επίπεδο (αριστερόστροφα) κατά γωνία $\theta$ γύρω από το σημείο

δίνεται από τον τύπο $f(z) = (z-w)e^{i\theta} + w = e^{i\theta}z + a$ όπου $a = w(1-e^{i\theta})$ . Αντιστρόφως, κάθε μετασχηματισμός της μορφής $f(z) = e^{i\theta}z + a$ με $0 < \theta < 2\pi$ είναι στροφή κατά γωνία $\theta$ γύρω από το σημείο $\displaystyle{ \frac{a}{1 - e^{i\theta}}.}$

Αν λοιπόν έχουμε δυο τέτοιες στροφές, την $f(z) = e^{i\theta}z + a$ και την $g(z) = e^{i\phi}z + b$ τότε και η σύνθεσή τους $fg(z) = e^{i(\theta + \phi)}z + (a + be^{i\theta})$ είναι και αυτή στροφή εκτός και αν $e^{i(\theta + \phi)} = 1$ (δηλαδή αν οι στροφές είναι αντίθετες) οπότε και είναι παράλληλη μεταφορά (ή ταυτοτική).

#3

Τη σύνθεση δύο γεωμετρικών μετασχηματισμών γενικά μπορεί κανείς να το συναντήσει στο σχολικό βιβλίο του Σπ. Κανέλλου:
"Ευκλείδειος Γεωμετρία Δ', Ε, ΣΤ΄ Γυμνασίου Θετικής Κατευθύνσεως" ΟΕΔΒ 1975, στο τελευταίο κεφάλαιο XVII, σελ.459.
Ειδικότερα τη σύνθεση δύο στροφών στο επίπεδο τη συναντά στο βιβλίο αυτό στη σελίδα 482 με τον όρο "γινόμενο".
Στο βιβλίο αυτό οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί αντιμετωπίζονται σφαιρικά και ως αλγεβρικές δομές.

Μια εκτενή διαπραγμάτευση των γεωμετρικών μετασχηματισμών βρίσκει κανείς και σ' ένα πόνημα του Γ. Τσίντσιφα με τίτλο:
"Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί".

Κώστας Δόρτσιος

parmenides51 · #4

Δείτε και στην μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία Η Γεωμετρία της αντιστροφής: Ιστορική αναδρομή, Διδακτικές προεκτάσεις και Εφαρμογές του Μιχαήλ Κακούρη.(σελ.33 με την αρίθμηση της διπλωματικής, σελ.45 με την αρίθμηση του pdf)

#5

Ας δώσω μία γεωμετρική προσέγγιση βασισμένη στην ανάλυση στροφής σε δύο ανακλάσεις διερχόμενες από το κέντρο της:

(I) Tυχούσα στροφή κέντρου

και γωνίας $\varphi$ μπορεί να θεωρηθεί ως σύνθεση δύο ανακλάσεων $M_{1}$ , $M_{2}$ των οποίων οι άξονες τέμνονται στο

σχηματίζοντας γωνία $\varphi/2$ ( βλέπετε πρώτο συνημμένο)^ η σειρά επιλογής των ανακλάσεων στην σύνθεση εξαρτάται από την φορά της στροφής.

(II) Για να βρούμε την σύνθεση δύο στροφών $R_{A}=(A,\,\varphi_{1})$ , $R_{B}=(B,\,\varphi_{2})$ , γράφουμε, σύμφωνα με τα παραπάνω, $R_{A}=M\star L$ (όπου

,

ανακλάσεις τεμνόμενες στο

κατά γωνία $\varphi_{1}/2$ ) και $R_{B}=N\star M$ (όπου

,

ανακλάσεις τεμνόμενες στο

κατά γωνία $\varphi_{2}/2$ ): είναι φανερό τώρα, καθώς η σύνθεση της ανάκλασης M με τον εαυτό της είναι η ταυτότητα, ότι $R_{B}\star R_{A}=N\star L$ (βλέπετε δεύτερο συνημμένο), είναι δηλαδή η σύνθεση των δύο στροφών σύνθεση δύο ανακλάσεων, επομένως στροφή με κέντρο το σημείο τομής τους και γωνία διπλάσια της γωνίας τους.

(III) Στην περίπτωση δύο αντίθετων στροφών ίσης γωνίας η σύνθεση ανάγεται, με την ίδια μέθοδο, σε σύνθεση δύο παράλληλων ανακλάσεων (βλέπετε τρίτο συνημμένο), η οποία εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι παράλληλη μεταφορά.

[Τα σχήματα από το έβδομο κεφάλαιο του βιβλίου μου Isometrica, αφιερωμένα στην γεωμετρική μελέτη της σύνθεσης ισομετριών στο επίπεδο και των κρυσταλλογραφικών ομάδων του επιπέδου, αντίστοιχα. Βεβαίως η ανάλυση στροφής σε δύο ανακλάσεις, και γενικότερα οποιασδήποτε ισομετρίας του επιπέδου σε τρεις το πολύ ανακλάσεις, δεν είναι δική μου ιδέα. (Τρεις ανακλάσεις απαιτεί η ολισθανάκλαση (σύνθεση ανάκλασης και παράλληλης μεταφοράς, glide reflection).)]

Γιώργος Μπαλόγλου

Σύνθεση στροφών (στο επίπεδο)

Σύνθεση στροφών (στο επίπεδο)

Re: Σύνθεση στροφών (στο επίπεδο)

Re: Σύνθεση στροφών (στο επίπεδο)

Re: Σύνθεση στροφών (στο επίπεδο)

Re: Σύνθεση στροφών (στο επίπεδο)

Μέλη σε σύνδεση